研究課題
基盤研究(C)
当該研究期間において、研究代表者高橋は各研究分担者らと共に、2次元および高次元ゲージ理論にあらわれる種々の非線形楕円型方程式の解の構成・解の漸近挙動・爆発解析および付随する熱流の時間大域的挙動の研究を行った.本研究課題で取り扱った種々の非線形楕円型方程式は、いずれも変分構造を有し、臨界Sobolev不等式やTrudinger-Moser不等式といった臨界型不等式と密接な関係を持ち、またある種の量子化現象を伴う爆発機構を持つことでも共通している。研究期間前半では、特に2次元乱流の平均場から得られる指数非線形項を持つ楕円型方程式の変分解の構成について成果を上げ、この方面の知見を深めることに寄与することができた。そこで扱った中立符号および混合符号を持つ多重渦点の研究は多くの研究者の興味を引き、現在は海外の研究グループも活発に参入して成果を上げている。研究期間後半においては、研究代表者は高次元領域上での半線形べき型臨界非線形項付き楕円型境界値問題の最小エネルギー解の漸近解析および爆発解析についても研究を進めた。これらの研究は本研究課題にあらわれる楕円型方程式の解の質量量子化現象と関係が深く、そこでの解析的技術の確立と研究の深化はさらに研究代表者に新しい研究課題を着想させるに至った。本研究課題の当初の目的であった2次元ゲージ理論における種々の楕円型方程式の解の構成についての研究は、現在も多くのモデル方程式が提唱される状況において、多数の研究者が関わりながら進展中であり、重要な研究分野に成熟してきたといえる。得られた成果は順次、国際的な学術雑誌において発表され、また研究代表者は、ポーランド・チリ・イスラエルでの国際会議において成果発表を行った。
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