| 研究概要 |
本研究では,曲面や曲線の族に定義される汎関数に対する条件付勾配流を考察した。勾配流は,汎関数の最急傾斜の方向に汎関数値を減らすように対象を変形させるもので,汎開数の臨界点を求める一つの方法である。自然界に現れる曲線や曲面め形状は,何らかの意味で安定なものである。安定度を測るものが汎関数である。従って,勾配流の収束先は,エネルギー的に安定なものであると考えられる。
長澤は,汎関数として曲線に対するウィルモア汎関数に,曲線の長さとそれが囲む領域の面積を指定した制限付極値問題(ヘルフレッヒ変分問題)に対する勾配流を構成した。曲線が円である場合は,この制限は退化し,ラグランジュの未定乗数が一意に定まうないため,この方法による勾配流の構成は困難である。そこで,特異極限によって制約条件を満たすような近似方程式を考え,近似パラメータに関する一様有界性を示し,更に,その特異極限の存在を証明した。この論文は既に出版済みであり,日本数学会の他,複数の国際研究集会で公表した。
勾配流方程式は,偏微分方程式の分類でいえば,放物型になる事が多い。小池は,非線形放物型偏微分方程式やその定常問題に相当する非線形楕円型偏微分方程式に対する最大値原理や比較定理について研究し,論文として公表した。太田は,双曲型偏微分方程式で記述される発展方程の解の安定性について研究し,論文として公表した。阪本は,CR構造を持つ多様体(CR多様体)の研究を行い,CR幾何に適したEinstein性を定義し,その性質を調べた。高坂は,境界条件を伴う表面拡散方程式の定常解の非線型安定性を調べ,論文に著した。掲載は決定済みである。幾何学的変分問題の解は,非線形方程式の弱解であるか,その正則性の有無を調べる事は重要である。立川は,不連続性を持つ積分汎関数に対する最小点の正則性について研究した。
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