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冪の形をした非線形項をもつ半線形熱方程式の有限時間で爆発する解や時間大域的に存在する解の挙動を考えるとき、冪がSobolevの臨界指数より小さい場合と大きい場合では状況は全く異なる。冪が臨界指数より小さい場合はすでに研究が進み詳しい結果が得られている。しかし、冪が臨界指数より大きい(超臨界)場合はほとんど研究されていなかった。超臨界指数のときの興味深い現象として不完全爆発、時間を無限大にしたとき増大するような時間大域解、type IIの爆発解があげられる。
古典解としては有限時間で爆発しているが爆発後弱解として延長できるような爆発を不完全爆発という。そのような解の存在は知られていたが、それらの爆発後の挙動については全く研究されていなかった。私は爆発後すぐに古典解になり時刻無限大で様々な挙動をする弱解の存在を示した。さらに、任意の複数回爆発するような弱解を構成した。これらの複数回爆発する解はどの爆発時刻でも同じ点(原点)でのみ爆発が起こっており爆発時間の差が非常に大きかった。そこで、任意に与えられた爆発時刻で爆発し、さらに異なる爆発時刻での爆発集合が異なるような解の存在について研究した。また、走化性方程式の初期値問題についても同様の結果を得た。
対応する常微分方程式の解の爆発のrateと同じrateの爆発をtype Iの爆発、それより速いrateの爆発をtype IIの爆発と呼ぶ。冪がSobolevの臨界指数より小さければtype Iの爆発しか起こらないことはよく知られている。超臨界指数の場合type IIの爆発をする解はHerrero-Velazquezによって得られていたが、その証明は非常に複雑であった。私はtype IIの爆発解の存在を彼らとは異なるより簡単な方法で示した。走化性方程式では低次元で境界条件のもとではtype IIの爆発をする解が知られていたが、高次元で初期値問題に対して特異解を爆発のprofileとするようなtype IIの爆発解を構成した。
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