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幕の形をした非線形項をもつ半線形熱方程式の有限時間で爆発する解や時間大域的に存在する解の挙動を考えるとき、幕がSobolevの臨界指数より小さい場合と大きい場合では状況は全く異なる。軍が臨界指数より小さい場合はすでに研究が進み詳しい結果が得られている。しかし、幕が臨界指数より大きい(超臨界)場合はほとんど研究されていなかった。超臨界指数のときの興味深い現象として不完全爆発、時間を無限大にしたとき増大するような時間大域解、type IIの爆発解があげられる。
古典解としては有限時間で爆発しているが爆発後弱解として延長できるような爆発を不完全爆発という。そのような解の存在は知られていたが、それらの爆発後の挙動については全く分かっていなかった。私は爆発後すぐに古典解になり時刻無限大で様々な挙動をする弱解の存在を示した。さらに、複数回爆発するような弱解を構成した。走化性方程式についても同様の解を構成した。
また、特異定常解との関連により増大度が大きくなるような時間大域解の列を構成するとともに正確な増大度も決定した。これまでは特異定常解より下にあるような時間大域解の時刻無限大での増大に関する結果しかなく、その場合はある一定の増大度をこえないことが知られていたが、特異定常解と交点を持つ場合はもっと増大度の大きい解が存在することが分かった。
対応する常微分方程式の解の爆発のrateと同じrateの爆発をtypeIの爆発、それより速いrateの爆発type IIの爆発と呼ぶ。冪がSobolevの臨界指数より小さければtype Iの爆発しか起こらないことはよく知られている。超臨界指数の場合にtype IIの爆発をする解はHerrero-Velazquezによって得られていたが、その証明は非常に複雑であった。私はtype IIの爆発解の存在を彼らとは異なるより簡単な方法で示した。走化性方程式では低次元で境界条件のもとではtype IIの爆発をする解が知られていたが、高次元で初期値問題に対して特異解を爆発のprofileとするようなtype IIの爆発解を構成した。
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