| 研究課題/領域番号 |
17540194
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
内藤 雄基 神戸大学, 工学部, 助教授 (10231458)
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| 研究分担者 |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学部, 助教授 (40232227)
桑村 雅隆 神戸大学, 発達科学部, 助教授 (30270333)
鈴木 貴 大阪大学, 基礎工学部, 教授 (40114516)
佐藤 得志 東北大学, 理学部, 助手 (00261545)
田中 敏 岡山理科大学, 理学部, 講師 (90331959)
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| キーワード | 非線形問題 / 自己相似性 / 非線形放物型偏微分方程式 / 非線形楕円型偏微分方程式 / 変分的手法 / 走化性方程式系 |
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| 研究概要 |
相似変換に関する不変性をもつ非線形放物型偏微分方程式に対して、自己相似解の解構造を解明すると共に、時間大域解の漸近挙動における自己相似解の役割について考察を行った。とくに今年度は、半線形熱方程式に対する自己相似解の構造についての研究を重点的に行った。ここでは自己相似解がある楕円型偏微分方程式を満たすことに着目し、主に楕円型偏微分方程式論、常微分方程式論からのアプローチを試みた。
まず、非線形項の指数がSobolevの意味で劣臨界的あるいは臨界的な場合について、非線形楕円型偏微分方程式に対する変分的手法により正値解の多重存在性を示すことができた。とくに非線形性が臨界的な場合については、エネルギー汎関数がある値より小さい場合にはコンパクト性を回復することを示すことができ、それにより臨界的状況における解の繊細な構造をとらえることができた。
非線形の指数が優臨界の場合については、非線形常微分方程式にたいする手法により、自己相似解の正値解の多重存在に関する結果が得られた。ここではべき乗型の非線形項をもつ問題を考えているにも関わらず、その自己相似解の解構造が、Gelfand構造と呼ばれる指数型非線形問題(Liouville型問題)に特有と思われている構造をもつことを明らかすることができた。
さらに走化性を記述する放物型方程式系に対しても、その解の自己相似的挙動について考察を行った。ここでは、解の積分表示を利用することにより解の長時間的挙動について考察を行い、とくにBilar(1998)により構成された時間大域解は、時間の経過と共に自己相似解に漸近することを示すことができた。
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