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2007 年度 実績報告書

非線形放物型偏微分方程式の自己相似構造と解の特異性

研究課題

研究課題/領域番号 17540194
研究機関神戸大学

研究代表者

内藤 雄基  神戸大学, 工学研究科, 准教授 (10231458)

研究分担者 石井 克幸  神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (40232227)
桑村 雅隆  神戸大学, 人間発達環境学研究科, 准教授 (30270333)
鈴木 貴  大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (40114516)
佐藤 得志  東北大学, 理学研究科, 助教 (00261545)
田中 敏  岡山理科大学, 理学部, 講師 (90331959)
キーワード非線形問題 / 自己相似解 / 放物型偏微分方程式 / 変分法 / 走化性方程式系
研究概要

相似変換に関する不変性をもつ非線形放物型偏微分方程式およびその系に対して、自己相似解の解構造を解明すると共に、時間大域解の漸近挙動における自己相似解の役割について考察を行った。とくに今年度は、半線形熱方程式および走化性方程式系における自己相似解の構造とその役割について研究を重点的に行った。
1.Sobolevの意味で臨界的な増大度の非線形項をもつ非線形熱方程式の前向き自己相似解の存在および解の多重性について考察を行った。ここでは、楕円型偏微分方程式における手法である比較定理および変分的手法により解の存在を示した。とくに臨界指数増大度の非線形項をもつ方程式においては、一般にPalais-Smaile条件を満たさないことが知られているが、ここでは空間次元3,4,5の場合にコンパクト性が回復することを見い出すことができ、適当な初期条件に対してsecond solutionの存在を示すことができた。一方、空間次元6以上の場合には、Pohozaev型の恒等式を構成することによりsecond solutionの非存在を示すことができ、これにより解の一意性の結果を得た。
2.走化性を記述する方程式系に対して、その自己相似解の構造と役割について考察を行った。前向き自己相似解については、解の挙動とL^<1^>ノルムとの関連を明らかにすることができた。また、技術的と思われる仮定を必要とするが一般の解の自己相似解への収束を示すことができた。後ろ向き自己相似解については空間2次元の場合には、適当なクラスの自己相似解は存在しないこと、そして一般の解の爆発形状も自己相似的とは成り得ないことを示した。空間3次元以上の場合には、可算無限個の解の存在が示されているが、それらの性質および役割については、さらに今後の研究で解明を目指したい。

  • 研究成果

    (15件)

すべて 2008 2007 その他

すべて 雑誌論文 (12件) (うち査読あり 12件) 学会発表 (2件) 図書 (1件)

  • [雑誌論文] Self-Similarity in Chemotaxis Systems2008

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito
    • 雑誌名

      Colloq. Math 111

      ページ: 11-34

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Optimal rate of convergence to the motion by mean curvature with a driving force2007

    • 著者名/発表者名
      Katsuyuki Ishii
    • 雑誌名

      Adv. Differential Equations 12

      ページ: 481-514

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Blowup in infinite time in the simplified system of chemotaxis2007

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Ohtsuka
    • 雑誌名

      Adv. Math. Sci. Appl. 17

      ページ: 445-472

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Stability of the steady state for the Falk model system of shape memory alloys2007

    • 著者名/発表者名
      Takashi Suzuki
    • 雑誌名

      Math. Methods Appl. Sci. 30

      ページ: 2233-2245

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Mathematical models of tumour angiogenesis2007

    • 著者名/発表者名
      Akisato Kubo
    • 雑誌名

      J. Comput. Appl. Math. 204

      ページ: 48-55

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Asymptotic non-degeneracy of the solution to the Liouville-Gelcprime fand problem in two dimensions.2007

    • 著者名/発表者名
      Tomohiko Sato
    • 雑誌名

      Comment. Math. Helv. 82

      ページ: 353-369

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] On the finite-time blow-up of a non-local parabolic equation describing chemotaxis2007

    • 著者名/発表者名
      Nikos I. Kavallaris
    • 雑誌名

      Differential Integral Equations 20

      ページ: 293-308

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Blow-up analysis for SU(3) Toda system2007

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Ohtsuka
    • 雑誌名

      J. Differential Equations 232

      ページ: 419-40

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Mean field equation for equilibrium vortices with neutral orientation2007

    • 著者名/発表者名
      Ken Sawada
    • 雑誌名

      Nonlinear Anal. 66

      ページ: 509-526

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A variational approach to self-similar solutions for semilinear heat equations2007

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito
    • 雑誌名

      Advanced Studies in Pure Mathematics 47-2

      ページ: 675-688

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Self-similar solutions for a semilinear heat equation with critical Sobolev exponent

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito
    • 雑誌名

      Indiana Univ. Math. J. (to appear)

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Sharp conditions for the existence of sign-changing solutions to equations involving the one-dimensional p-Laplacian,

    • 著者名/発表者名
      Yuki Naito
    • 雑誌名

      Nonlinear Anal. TMA (to appear)

    • 査読あり
  • [学会発表] Multiple continuation of solutions after blow up for semilinear heat Equations2007

    • 著者名/発表者名
      内藤 雄基
    • 学会等名
      日本数学会
    • 発表場所
      東北大学
    • 年月日
      2007-09-18
    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [学会発表] Continuation of solutions after blow up for semilinear heat equations2007

    • 著者名/発表者名
      内藤 雄基
    • 学会等名
      Equadiff 2007
    • 発表場所
      Vienna, Austria
    • 年月日
      2007-08-07
    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [図書] これからの非線形偏微分方程式2007

    • 著者名/発表者名
      小薗英雄
    • 総ページ数
      222-243
    • 出版者
      日本評論社
    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より

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公開日: 2010-02-04   更新日: 2016-04-21  

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