| 研究課題/領域番号 |
17540194
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
大域解析学
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
内藤 雄基 神戸大学, 工学研究科, 准教授 (10231458)
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| 研究分担者 |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (40232227)
桑村 雅隆 神戸大学, 人間発達環境学研究科, 准教授 (30270333)
鈴木 貴 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (40114516)
佐藤 得志 東北大学, 理学研究科, 助教 (00261545)
田中 敏 岡山理科大学, 理学部, 講師 (90331959)
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| 研究期間 (年度) |
2005 – 2007
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| キーワード | 非線形問題 / 自己相似解 / 放物型偏微分方程式 / 変分法 / 走化性方程式系 |
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| 研究概要 |
相似変換に関する不変性をもつ非線形放物型偏微分方程式および系に対して、自己相似解の解構造を解明すると共に、時間大域解あるいは有限時刻爆発解の漸近的性質における自己相似解の役割について考察を行った。とくに半線形熱方程式に対する自己相似解の構造、非線形熱方程式爆発現象における自己相似解の果たす役割、走化性方程式系における自己相似解の構造とその役割について重点的に研究を行った。まず非線形項の指数がSobolevの意味で劣臨界的あるいは臨界的な場合について、非線形楕円型偏微分方程式に対する変分的手法により正値解の多重存在性を示すことができた。とくに非線形性が臨界的な場合については、エネルギー汎関数がある値より小さい場合にはコンパクト性を回復することを示すことができ、それにより臨界的状況における解の繊細な構造をとらえることができた、非線形の指数が優臨界の場合については、非線形常微分方程式にたいする手法により、自己相似解の正値解の多重存在に関する結果が得られた。
半線形熱方程式の爆発解に関して、解の後方時空における適当な放物領域で正値性を保つ爆発解は、必ずtype Iと呼ばれる自己相似的な速さで爆発することを示した。さらに空間次元が3の場合、ある条件を満たす速さで収縮する領域においては、type IIと呼ばれる特殊な速さで爆発する解が存在することを示すことができた。
走化性を記述する放物型方程式系に対して、時間大域解が時間の経過と共に自己相似解に漸近すること、空間2次元の場合には、一般の解の爆発形状は自己相似的とは成り得ないことを示すことができた。
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