| 研究概要 |
主に、以下の三項目について研究を進めました:
[1]画像処理問題のGradient Flowの構成
[2]自由境界問題に対するCauchy-Lipschitz-Picardの定理によるGradient Flowの構成
[3]自由境界問題に対するMinimizing Movement methodによるGradient Flowの構成
[1]DeGiorgi-Ambrosioによって導入された画像処理問題の汎関数に対する時間発展の研究はGobbino, Chambolle-Doveriによる結果が知られていますが,このいずれも,Fractureの時間発展に伴う運動法則については未解決です.これに対して,当研究ではDeGiorgi提唱による,Fractureからの距離関数を含む時間差分近似項,を付加した形のエネルギー汎関数を基としたMinimizing movement methodにより,Gradient Flowを構成することに取り組みました.距離関数のためFractureの運動法則が計算できる反面,Minimizing movement methodの一般論を適用することができず,それを解決するのがこの研究の現在の目標です.このためには,いかなる「距離」を導入するか,が鍵を握ることになりますが,その候補を得るに至たりました.
[2]自由境界汎関数が含む特異性をもつ特性関数項を,滑らかな関数を用いてGamma-収束近似し,区分的定数関数によって解を近似する方法によってGradient Flowを得ようとする試みです.この方法での解の構成に成功し,空間方向にはほとんどすべての時間でのリプシッツ連続性,時間方向には有界変動性といった正則性を導出することに成功しました.この結果は論文として出版予定です.
[3]これまで,自由境界汎関数を直接用いた,空間一様有界微分をもつMinimizing movement法によるGradient Flowの構成は知られていません.現在のところ,空間方向微分が一様な「Discrete minizing movement」に成功しました.現在時間方向の一様評価の導出の研究に取り組んでおります.
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