| 研究課題/領域番号 |
17540205
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
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| 研究分担者 |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
山崎 昌男 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20174659)
山田 義雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20111825)
柴田 徹太郎 広島大学, 大学院・工学研究科, 教授 (90216010)
倉田 和浩 首都大学東京, 都市教養学部理工学系, 教授 (10186489)
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| キーワード | 変分問題 / 非線型楕円型方程式 / 特異摂動問題 / ハミルトン系 |
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| 研究概要 |
昨年度に引き続き非線型楕円型方程式の解の存在問題を中心に研究を行った。
(i)スカラーフィールド方程式等のR-N全体で定義された非線型楕円型方程式の解の存在問題は方程式が空間変数xに依存しないとき、ある点を中心とした球対称な解の存在を議論すればよくBerestycki-Lionsらにより解の存在のためのよい条件が知られている。しかしながら方程式が空間変数xに依存する場合、存在問題は非常にデリケートな問題となり、従来の研究では非線型シュレディンガー方程式等については比較的広いクラスの非線型項に対して解の存在が得られているが、その他の方程式に関してはほとんど扱われていなかった。本研究ではRabierらにより最近開発されたmonotonicitytrickを用いることにより一般のスカラーフィールド方程式に対しても非常に広いクラスで存在結果を得ることができた。また方程式系(シュレディガー方程式系)等に関しても同様の考察を試みた。
(ii)特異摂動問題に関してはGierer-Meinhardt系でのpeak解の存在を弱い飽和効果を取り入れた状況下で示した。また1次元での高振動解についても、その存在と特徴づけに成功した。高振動解についてはその発生のメカニズムをより一般のハミルトン系で理解することが目標のひとつであったが、ラグランジュ系に関しては若干の進歩を見たが、ハミルトン系ではまだ十分でなく、今後の進展が待たれる。
(iii)ハミルトン系に関しては2体問題に関連した状況での周期問題について進展が見られた。周期解のMorse指数の評価に関して従来の研究では得られなかったよりよい評価が得られた。この評価と新しい汎関数を導入することにより、周期解の存在結果も改良されるであろうと期待される。
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