| 研究分担者 |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
山崎 昌男 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20174659)
山田 義雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20111825)
柴田 徹太郎 広島大学, 大学院・工学研究科, 教授 (90216010)
倉田 和浩 首都大学東京, 大学院・理工学研究科, 教授 (10186489)
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| 研究概要 |
特異摂動問題の解析に重点をおき,変分的手法を用いて非線型楕円型方程式,ハミルトン系の研究を行った.
1.特異摂動問題においては高振動解(特異摂動パラメーターεが0へ近づくときスパイクあるいは遷移層の数が無限大へと発散する解)の解析と非線型Schrodinger方程式Allen-Cahn方程式,Fisher方程式に対して行い,admissibleなadiabatic invariantに対応する解の族の構成に成功した.またGierer-Meinhardt方程式に対しては,方程式にx依存性がなくとも局所的に高振動解をもつ解が現れることをエネルギー関数等に対する極限方程式を解析することにより示した.なお,1次元Schrodinger方程式に対してはε→0のときの正値解の個数の増加に関する新しい評価を与えることに成功した.
2.非線型Schrodinger方程式に対する特異摂動問題に関して,非常に一般的な非線型項を許容する条件の下で凝集解の構成に空間次元が1,の場合に成功した.このような試みは数多くされて来たが,今回の結果はBerestycki-Gallouet-Kavianのscalar filed方程式の結果に対応し,既存の結果を包括する.(空間次元が3以上の場合はByeonとJeanjeanにより最近示されていたが,今回空間次元が1,2の場合は未知であった.今回その場合を扱うことにに成功した.)
3ハミルトン系に関してはprescribed energy問題を考察し,天体力学に関連したハミルトン系に対して周期軌道の存在証明に成功した.ここで得られた結果の特徴としては次の点があげられる.(a)strong force条件を一般化した条件の下での存在定理であること.(b)等エネルギー曲面S={(q,p)|H(q,p)=E}はノンコンパクト.(c)存在のための条件はハミルトン関数H(q,p)に対する条件ではなく,等エネルギー曲面Sに対する条件として与えられている.
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