| 研究概要 |
岡,国府と海外協力者により,特異摂動的ベクトル場のConley指数理論を一般の次元の法双曲的なslow manifoldに対して拡張した.そのために,まず,このような特異摂動的ベクトル場のConley指数が,速いベクトル場に対するConley指数と2次元以上の遅いベクトル場に対するConley指数へのホモロジー的な分解の構造理論を確立した.これは,遅いベクトル場のConley指数がわかれば,状況がslow manifoldが1次元の場合に帰着されることを示しており,特異摂動的ベクトル場の新しい一般的な構造を示した点でも興味深い.この理論の応用として,Gardner-Smollerによって与えられたprey-predator systemで馬蹄力学系に対応した複雑さを持つ進行波解の存在を示した.
国府は,heteroclinic軌道の無限回の分岐がそれがsaddle-node周期軌道の分岐点に集積する"cocoon bifurcation"と呼ばれる分岐現象が,一般的にcusp-transverse heteroclinic chain(CTHC)と名付けた特異不変集合からの大域的分岐によって引き起こされることを示した.この現象は,従来,Kuramoto-Sivashinsky方程式の進行波解を記述する常微分方程式系であるMichelson系においてパラメータを変化させると見られるものである.
また,力学系の安定多様体と不安定多様体の有限部分の情報から得られるtrellisを使い,Henon写像についてその複雑さと1次元力学系との関連を探る研究は,石井,荒井と現在,進行中である.
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