| 研究概要 |
この研究ではトーリック多様体と扇の理論から出発して,正則関数の実数ベキまで許す代数幾何学の世界が存在するのか否かを解明しようと試みている.
トーリック多様体の観点から見ると,すでにそのような世界を大きく予感させられる事実がある.トーリック多様体を記述する扇は有理点で生成される有理錐体の集まりである.有理性の条件をはずした錐体の集まりを実扇と呼ぶことにすると,実扇を一種の多様体と考えることも自然である.1年目は主に実扇を代数幾何学的観点から研究した.実扇についてセールやポアンカレの双対性定理を証明できることもわかるので,その良い定式化を考えた.
実扇も含めた扇の完備化が可能であることの直接証明が研究代表者とエバルト氏により得られている.研究代表者が与えた証明は,実扇を多様体と考えて永田による証明と同様に実扇に対して定義したザリスキ・リーマン空間やブローアップを使って代数幾何学的に完備化の存在証明を行うものである.エバルト氏との共著論文はすでに数学雑誌に受理され掲載の予定となった.
複素数体上の一般型極小曲面Sがカタネーゼ・チリベルト曲面とは,幾何種数と不正則数が1でかつ標準因子の自己交点数が3となることと定義される.このとき,アルバネーゼ写像はある楕円曲線Eへの全射となり,その一般ファイバーは種数gが2または3の非特異な既約代数曲線である.このカタネーゼ・チリベルト曲面Sが,g=3でしかもこのベクトル束によるE上の射影平面束に埋め込まれ,さらにaの特異ファイバーが1本だけの場合にCCI曲面と呼ばれ石田弘隆氏による研究がある.本研究の一面として,CCI曲面のモジュライ変数を楕円曲線の不分岐3重被覆とヘッセの3次曲線族の観点から求めた.
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