| 研究概要 |
1.ユニタリ・ヤコビ群のHecke環の構造について
幾つかの典型的なタイプのユニタリ・ヤユビ群(ユニタリ群とユニポテント群の半直積群)に対し,局所Hecke環の構造を調べた.ユニタリ・ヤコビ群の中心の指標を定めるindex(エルミート行列)がユニモジュラーならば,通常のヤコビ群の場合(新谷卓郎氏の結果)と同様に,佐武同型が構成される.しかし,大域的保型L関数や新谷関数への応用を考えるためには,indexがmaximalとなる場合も込めて帯球関数の理論が必要になると思われる.これは,従来のヤコビ群の場合にも未だに知られていない課題であり,困難が予想される.小さなサイズの場合に得られた具体例を参考にしつつ,来年度の中心課題として取り組みたい.
2.unitary Kudla liftのヤコビ形式版について
U(1,1)上の正則保型形式から,U(1,2)へのWeil表現を用いたunitary Kudla liftについては村瀬篤氏との共同研究により,詳しい結果が得られている(Fourier-Jacobi展開,内積公式など).これをユニタリ・ヤコビ形式の言葉で,書き直すことが出発点であるが,未だ十分な形には至っていない(虚2次体の類数が1の場合には,SU(1,1)ヤコビ形式からSU(1,2)へのリフトとして定式化し,保型L関数の関係まで得られている).
ヤコビ形式からのリフトと見るメリットの一つに,像が具体的に書けることにある.これを用いて3次ユニタリ群の保型形式環の構造を調べるため,ユニモジュラーな場合に知られてる次元公式(L.Cohn, K.Hashimoto-H.Koseki)の調査もあわせて行った。
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