| 研究概要 |
研究代表者は以下の研究を行った。
私たちの身の周りで起きる現象を解析するために偏微分方程式は重要である。電気流動学や弾性学などの研究に現れる偏微分方程式を解析するために,変動指数をもつ関数空間が重要な役割を果たすことが知られている。また,偏微分方程式の解を求める一つの方法として変分法が有効で,このために変動指数をもつ関数空間においてソボレフ型の定理が必要となる。
一般に,関数空間の研究において,Fefferman-Steinの極大関数の有界性を調べることが重要となる。近年,Dieningがいわゆるlog-ヘルダー連続と呼ばれる変動指数をもつ関数空間でもFefferman-Steinの理論がダイナミックに展開されることを示した。
本研究の目的は,一般の変動指数をもつ関数空間において,同様の議論が展開されることを模索することにある。しかしながら,log-ヘルダー条件を弱めるとDieningの理論が成立しないことがわかっているので,新しい工夫が求められる。本年度の研究において,Orliczの導入した関数空間をうまく設定することによつて解決できる場合があることを示すことができた。この研究を踏まえて,変動指数をもつ関数空間において,ソボレフ型の定理を構築することが求められている。
研究分担者は以下の研究を分担した。
下村は,研究代表者とともに,変動指数をもつ関数空間におけるソボレフの不等式やTrudingerの不等式に関する研究を分担した。
吉田は,偏微分方程式の解の性質を調べる研究を分担した。
島は,確率論からのアプローチを模索する研究を分担した。
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