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全変動エネルギーとする勾配系(全変動流)は非線形拡散方程式ではあるがその拡散が傾きゼロの面に非常に強くその効果が非局所的になるだけではなく、等高面に垂直方向で拡散が退化しているという特徴がある。このような性質をもつために数学解析を行う上では方程式の解の概念そのものをどのように定義するかが既に問題になる。
一方、画像処理の分野では、この種の方程式は他の拡散型方程式による画像の整形に比べて輪郭をこわさないという利点があるので数値計算はよくされている。本研究計画では特にベクトル値関数で値がある多様体に束縛されているものについての全変動流についてその数値計算で有効と思われる離散系を詳しく数学解析することによりその初期値問題の可解性が一般にはほとんどわかっていないもとの問題の解の挙動を調べる。
多様体値の全変動流はよく研究されている調和写像流の一般化とも考えられるが従来手が付けられなかった分野である。この方程式の解の挙動を知るために区分的定ベクトル関数からなる関数空間で問題を離散化することに、有限要素法的な考えでも自然ではある。しかし、その離散問題の解のさまざまな挙動や、その近似極限と元の問題の関係等は束縛条件付全変動流(1-調和写像流)については全く不明であった。
本年度はまず、離散勾配系のモデルを確立し、その解の存在を近似問題の常微分方程式系の時間大域解のアプリオリ評価を作ることによって証明した。
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