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包括グレブナー基底(以下「CGB」)と包括グレブナー系(以下「CGS」)を本研究の主たる研究対象としていたが、本年度はその双方に於いて大きな前進を果した。
本年度8月に奈良女子大学で行われた国際会議ACA2005にてCGSに対する新しいアルゴリズムを紹介した。その際にはまだ十分な理解は得られなかったが、何度かの国際会議や国内研究集会での発表を経て、簡素でありながら効率的なアルゴリズムであると理解された。これまでのアルゴリズムは複雑であり、その実装は困難であったが、新しいアルゴリズムでは計算効率が優れていながらも実装が容易である。実際、複数の計算代数システムに実装し、それらと既存の実装との比較も行った論文(未発表)も執筆済みである。
一方、本年度12月に韓国ソウルで行われた国際会議ASCM2005にてCGBに対する新しいアルゴリズムを紹介した。これは上記のCGSのアルゴリズムに対する拡張であるが、これも簡素でありながら効率的なアルゴリズムであると理解され大きな反響を得た。CGBに対するこれまでのアルゴリズムの実装の困難さはCGSに対するそれを上まわるものである一方で、この新しいアルゴリズムではこれまでになかったアイディアの導入により、CGSのアルゴリズムの簡易性を保ったままでCGBの計算をも可能とした。このアルゴリズムの高速性についても上記未発表の論文にて述べた。
またCGBの拡張であるfull CGBについても新しいアルゴリズムの発表をギリシアで行なわれたCASC2005で行なった。この発表では上記CGBアルゴリズムへの更なる拡張を示唆したが、その詳細については未発表である。
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