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Frenkel-Lepowsky-Meurmanによって構成されたムーンシャイン頂点作用素代数はモンスター単純群を自己同型群として持ち、かつ楕円モジュラー関数を指標として持つ非常に興味深い頂点作用素代数である。その研究はモンスター単純群の性質を解明する為に重要である。
リーチ格子に付随する頂点作用素代数のある位数3の自己同型による固定点のなす部分代数の表現を用いてムーンシャイン頂点作用素代数の新しい構成が得られる事が予想されている。その構成は今まで困難だったモンスター単純群の位数3の元の扱いを簡単にする。私は自己同型群による不変部分頂点作用素代数の具体例として、このリーチ格子から得られる代数の表現を研究している。
今年度は、山田裕理氏(一橋大)と共同でランクが2のある格子に付随する頂点作用素代数の位数3の自己同型による固定点全体からなる部分代数の表現を研究した。その代数の既約加群を分類し、全ての加群が完全可約であることを示した。さらにフュージョンルールの一部を計算した。一般に自己同型群で固定される部分代数の表現に関して、既約加群の分類および加群の完全可約性に対する予想があるのだが、我々の結果はこの予想の自己同型群の位数が3の場合の検証例ともなっている。
この代数は上記のリーチ格子から得られる代数の部分代数となっている。得られた結果を用いて、リーチ格子から得られる代数の表現の研究を現在おこなっている。
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