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本年度はアフィン代数曲面の対数的多重種数と対数的小平次元の関係、及び、対数的小平次元がゼロとなる開代数曲面に関して下記のような研究を行った。
1.ピカール群が有限群となる非特異アフィン代数曲面の対数的多重種数と対数的小平次元について次のような結果を得た。まず、対数的小平次元が1になる場合はそのようなアフィン代数曲面の対数的2種数が正になることを示し、次に、対数的小平次元が2になる場合はそのようなアフィン代数曲面の対数的6種数が正になることを証明した。このことから、対数的小平次元が非負で対数的6種数がゼロになるピカール群が有限群となる非特異アフィン代数曲面を完全に分類することができた。これは、昨年度にQ-ホモロジー平面に関して得られた結果の拡張になっている。対数的小平次元が2の場合の証明ではピカール数1の対数的デルペッゾ曲面の分類理論を用いており、このような手法は他の場合にも適用できることが期待される。
2.Q-ホモロジー平面上のアフィン直線に関する研究結果を用いて、次のことを証明した。射影平面内の既約曲線のある既約2次曲線の補集合にある部分が位相的に可縮であるならば、その曲線の捕集合の対数的小平次元が負になる。これは、吉原久夫氏が提出した問題に対する肯定的な解答になっている。
3.対数的小平次元と対数的2種数がゼロとなる開有理代数曲面について、通常知られている対数的極小モデルから境界の係数が1になる部分を除いた対数的対について、対数的極小モデルプログラムを適用した場合の双有理射の構造を調べた。現在はそのようにしてできた対(強極小モデルと呼んでいる)の分類を対数的標準被覆の技術とピカール数1の対数的デルペッゾ曲面の分類理論を用いて行っている。
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