| 研究概要 |
極小対数的食い違い係数の研究を行った。
極小モデルプログラム(MMP)とは各双有理同値類に著しい性質を持つ代数多様体を見つけるプログラムで、森が3次元MMPを完成させて以来その高次元化は未完成のまま残されている。高次元MMPの完成にはフリップの存在と終止を示さなければならないが、最近Birkar、Cascini、Hacon、McKernanによってフリップの存在が証明され、極小モデル理論は大きく前進した。フリップ問題の難しさはMMPの過程で特異点が生じることに起因する。それらの特異点は極小対数的食い違い係数によって定義されるが、高次元では定義以上の性質は十分調べられていない。
私は昨年度、この視点から対数的標準特異点に関する逆同伴を証明した。今年度は、Ein、Mustata、安田によるモチーフ積分論からの研究手法を、一般の代数多様体への拡張する試みを行った。代数多様体の局所完全交叉性からの離れ具合を記述する不変量を有理係数イデアル層として導入した。これが多様体と全空間の間の標準因子の同伴公式に自然に現れ、その比較に対し極小対数的食い違い係数の同伴及び逆同伴を証明した。ちなみに定理は高木俊輔の予想にも応えている。
滑らかな代数多様体Aの余次元cの正規Q-Gorenstein閉部分代数多様体Xを考える。モチーフ積分論によれば、X上の極小対数的食い違い係数は微分形式層かち定義される(有理)イデアル層Jを用いて記述される。Xが局所完全交叉ならばJはヤコビアンJ'に一致する。Ein、Mustata、安田の研究はこの性質を基礎におくが、一般にはJがJ'を含むことが言えるのみである。私はX上の有理イデアル層DでJ'=JDを満たすDを自然に構成し、弱局所完全交叉欠陥有理イデアル層と定義した。Dの導入により、IをXのA上のイデアル層としてA上の組(A,-I^c)の制限は、X上の組(X,D)に自然に対応させられる。Xを同次元の局所完全交叉スキームYに埋め込み、Y-XのXへの制限の孤空間がXの孤空間内で測度零となることを利用して議論を局所完全交叉の場合に帰着させ、(A,I^c)と(X,D)の極小対数的食い違い係数の同伴及び逆同伴を証明した。
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