| 研究概要 |
今年度前半は,乗数イデアルと密着閉包の理論を使って,イデアルの記号ベキについて研究した.Ein-Lazarsfeld-Smithは,乗数イデアルの劣加法性を用いて,標数0のアフィン正則環Rのイデアルの記号ベキの増大度について次の結果を得た:任意の自然数nに対して,Rの高さh>0の素イデアルPの記号的nh乗P^(nh)はP^nに含まれる.私は密着閉包という正標数の環の理論を用い,正標数への還元を通じて,乗数イデアルの劣加法性を特異点を持つ多様体に対して拡張した.さらにそれを用いて,Ein-Lazarsfeld-Smithの結果を任意の正規Q-Gorensteinアフィン環に対して拡張した:Rを標数0の正規Q-Gorensteinアフィン整域とし,JをRのJacobi小行列式イデアルとする.またPをRの高さh>0の素イデアルとする.このとき任意の自然数nに対して,J^nP^(nh)はP^nに含まれる.さらに等標数0の正則局所環の素イデアルの記号的2乗に関するEisenbud-Mazurの予想の正標数における類似を考え,部分的な結果を得た.
今年度後半は,Frobenius写像の分解によるplt特異点の特徴付けを研究した.原-渡辺はFrobenius写像を使って強F-正則対、因子的F-正則対、F-純対という正標数の特異点を定義し,これが標数p>0への還元を通じて局所モデルプログラム理論に現れる標数0の特異点と対応することを予想した.先の論文で私はklt特異点と強F-正則対の対応を示したが,今回それを拡張して,plt特異点と因子的F-正則対の対応を示した(kltならばplt,強F-正則ならば因子的F-正則である).これにより可換環論的手法を用いてplt特異点を研究することが可能になった.
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