| 研究概要 |
今年度は研究課題「ヘガードフレアーホモロジーと曲面の写像類群に関する研究」のうち,曲面の写像類群について研究を行った.とくに組み紐群と円周上め一点穴あきトーラス束の基本群の表現について,写像類群の観点から詳細に考察した.その際,トーラス束の新しい不変量を導入するとともに,Dehn fillingで得られた3次元多様体の基本群との関係についでも考察した.以下得られた結果の概略を述べる.
3次元多様体の研究において,基本群の表現は基本的かつ重要な役割を果たすことが知られている.一方で,与えられた群に対してその線形表現を見出すこと,または組織的な構成法を与えることは,一般に難しい問題である.今年度は円周上の一点穴あきトーラス束に注目し,その基本群の既約4次元表現の1パラータ族を複素数体上で具体的に構成した.これは、組み紐群のSO(n)またはU(n)表現の1パラメータ変形から自然に導かれるもので,とくに,曲面束のモノドロミーに対応した生成元の像を用いることで,不変量を導入することができる.さらに,この不変量は,8の字結び目の外部空間に対して最小化されることもわかった.
また,上記表現のもう一つの応用として,トーラス束のカスプに沿ってDehn fillingして得られる閉3次元多様体の基本群の表現も構成した.これらは4次元(特殊)ユニタリ表現となり,とくに扱いやすい対象となっている。
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