| 研究概要 |
複素平面上での多項式の力学系を考える.パラメータ空間内において,(多項式類似写像の意味で)くりこみ可能なパラメータ集合を考えると,その上でstraightening mapという,別の多項式のパラメータ空間のconnectedness locus (Julia集合が連結となるパラメータ集合)への写像が自然に定義される.このstraightening mapは2次多項式においては常に同相写像を与え,それによってMandelbrot集合の境界の自己相似性が得られることが以前から知られている.
しかしながら3次以上の場合にはstraightening mapは一般には連続にはならないことを,反例を具体的に構成することで示した.DouadyとHubbardによって3次以上の多項式類似写像の族のstraightening mapは一般に連続にならないことは示されていたが,多項式を制限して得られた場合に限った場合どうなるかは知られていなかった.証明においては彼らの用いた放物型周期点の分岐理論をさらに応用することでstraightening mapの連続性を周期点の微分の絶対値に関連づける,ということが重要な役割を果たしている.また,ハイブリッド同値で,しかも全ての対応する周期点の微分の絶対値が等しい2つの多項式類似写像は解析的に共役であることはPradoらによって示されている.そのように2つの多項式のくりこみが解析的に共役な時は,ある多項式があって,2つともその多項式と半共役となることも示すことができた.
これらの結果は1つの例だけではなく,ほとんどの場合においてstraightening mapは不連続である,ということを強く示唆している.
|
