| 研究概要 |
曲面上の写像類群の各元(写像類)は3つのタイプ:periodic, reducible, pseudo--Anosov (pA)に分類できる.このうちで最も一般的な場合がpAであり,このタイプの写像類の代表元であるpA写像とよばれる写像は,力学系,双曲幾何,葉層の研究においては興味深くまた大変重要な対象である.特に曲面が穴あき円板である場合は,写像類は組ひもと同一視できる.これによって組ひものタイプが意味をもつ.
pA写像類は2つの自然な不変量を持つ.pA写像には,1より大きな代数的整数が付随しておりdilatationとよばれている.これが1つ目の不変量である.各写像類において,任意の代表元をとり,その同相写像による写像柱とよばれる3次元多様体を考える.写像類がpAであるとき,またそのときに限り,写像柱には完備双曲構造が入る.従って写像柱の双曲体積は写像類の(2つ目の)不変量を与える.本年度の成果は,2つの不変量の関係を考察した以下の2つであり,これらは高沢光彦氏(東京工業大学)との共同研究で得られた.
(1)Nこの穴あき円板上の写像類の最小のdilatationは,Nを大きくすればいくらでも1に近い値をとることがわかっている.従って,いくらでも小さいdilatationをもつ写像類を具体的に構成することができるが,このような写像類の体積の値には何らかの制限があるのだろうか?我々は,いくらでも小さいdilatationといくらでも大きな体積を持つ写像類を具体的に構成することで,体積の値には制限が無いことを示した.
(3)3この穴あき円板上のpA写像類について,2っの不変量の比:volume/log(dilatation)を考える.この比は写像類に依存せず,ある定数c>0によって下から押さえられることを示した.
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