| 研究課題/領域番号 |
17H01091
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
山田 澄生 学習院大学, 理学部, 教授 (90396416)
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| 研究分担者 |
白水 徹也 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (10282716)
儀我 美一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70144110)
松本 幸夫 学習院大学, 理学部, 研究員 (20011637)
野澤 真人 京都大学, 基礎物理学研究所, 研究員 (60547321)
小野寺 有紹 東京工業大学, 理学院, 准教授 (70614999)
三石 史人 福岡大学, 理学部, 助教 (80625616)
泉 圭介 名古屋大学, 素粒子宇宙起源研究所, 助教 (90554501)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 真空アインシュタイン方程式 / ADM形式 / 高次元アインシュタイン方程式 / 調和写像 / 調和関数 / ソリトン解 / ベッチ数 |
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| 研究実績の概要 |
研究代表者（山田）は、当初計画していた漸近平坦なブラックホール時空の構成を変更し、必ずしも漸近平坦ではない（Kasner型漸近挙動を持つ）ブラックーホールのない時空の構成を行った。ブラックホールが内包する重力崩壊による特異点の存在しない時空はシステムとして閉じており、幾何学的なパラメーターの制御が比較的容易であることから、位相幾何学的な特徴付けに関して興味深い結果を得ることができたことは、今後の研究の方向性を定めるにあたって大きな刺激となった。実際、第2ベッチ数が無限のリッチ曲率がゼロ以上な空間の構成は新規性があり、理論物理学の国際ジャーナル（JHEP）に掲載されるに至っている。
研究分担者（小野寺）は、 Bernoulliの自由境界問題を含む一般の過剰決定問題に対し有効な函数解析的手法を確立し，領域形状の定量的安定性を導出した．また，正則性損失構造から従来解析が困難だったBackus問題に対し，軸対称性の仮定下では正則性損失が起こらず可解となることを発見した．
研究分担者（泉）は、 漸近平坦時空の無限遠近傍におけるヌル測地線の振舞いを調べ４次元と、５次元以上の場合で以下の違いが現れることを示した。また、非負曲率を持つ３次元漸近平坦空間上の面積不等式を導き出した。アインシュタイン方程式のもとでのブラックホール面積の上限を与える面積不等式の一般化であり弱重力下でも適応可能な不等式となっている。
研究分担者（松本）は、閉じたリーマン面の同型類の全体はタイヒミュラー空間を写像類群で割った商空間はモジュライ空間と呼ばれ、一般にコンパクトではないがドリーニュ・マンフォードのコンパクト化と呼ばれる方法でコンパクト化できる．このコンパクト化されたモジュライ空間のオービフォールド構造を明示的に決定した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本課題における前年度までの研究成果において、物理的考察から定式化される適当な境界条件をもつ調和写像の存在定理及び唯一性定理を確立した。これを基盤として、5次元真空アインシュタイン時空のソリトン（孤立波）解の構成を行った。4次元真空アインシュタイン時空においては、ソリトン解は自明なもの（ミンコフスキー空間）に限られていることが知られており、5次元において非自明な解、特に位相幾何学的に無限な複雑性（第2ベッチ数が無限）を持つ時空が構成されたことは予想外の進展であり、5次元の一般相対論の数学的に新たな展開が拡がったことは興味深い。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題の一環として確立されたソリトン解の一般化を行う。ソリトン解とは、孤立したシステム、つまり系として閉じている状況を表しているため、幾何学的に非常に正準性の高い対象であり、その存在の必然性をアインシュタイン方程式という偏微分方程式のもつ枠組みの中で特定することの意義は大きいと考える。
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