| 研究課題/領域番号 |
17H01097
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
柴田 良弘 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (50114088)
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| 研究分担者 |
吉村 浩明 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40247234)
舟木 直久 早稲田大学, 理工学術院, 特任教授 (60112174)
小澤 徹 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | R-有界性 / 最大正則性原理 / 自由境界問題 / 1相問題 / 2相問題 / 多層流体 / 確率偏微分方程式 / 非平衡熱力学 |
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| 研究実績の概要 |
Stokes作用素の自由境界条件下での一般化レゾルベント問題のR-有界作用素に関する一般論を完成。これを用いて時間依存問題に対する最大正則性原理を示した。Navier-Stokes方程式の１相問題の一般領域での時間局所可解性、有界領域、外部領域での時間大域解の一意存在と解の漸近挙動を示した。Stokes 作用素の２相問題に対する一般化レゾルベント問題のR-有界作用素に関する一般論を完成。これを用いて時間依存問題に対する最大正則性原理を示した。Navier-Stokes方程式の2相問題の一般領域での時間局所可解性、有界領域、外部領域での時間大域解の一意存在と解の漸近挙動を示した。複雑流体（液晶）の代表的な方程式系であるQ-tensorモデルの コーシー問題の時間大域解の一意存在を示した。流体中での化学反応に関する Stefan-Maxwell-Navier-Stokes理論により導かれる多層流体の時間局所解の存在を示した。混合系方程式の代表であるthermoelastic plate方程式に関すし最大正則性原理と半群の生成を自由境界条件の時に示した。R-有界作用素の枠組みで非斉次境界条件下での放物型方程式系の最大正則性原理を初期値境界値問題周期解について示す方法を確立した。流体の解析に現れる函数不等式を、等式の枠組で再定式化し、最適化函数の満たすべき方程式を特徴づけた。Glauber-零レンジ過程から平均曲率運動の導出を行った。非線形な拡散項を経由するため偏微分方程式の観点からも新しい結果である。非平衡熱力学に関連して，外界との間で物質及び熱の移動を伴う開放系の変分的定式化を研究し，有限次元の場合の変分構造を時間依存系の非ホロノミック系に対するラグランジュ・ダランベールの原理の観点から明らかにした。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
当初の計画ではNavier-Stokes方程式の自由境界問題の時間局所解の一意存在、時間大域解の一意存在の存在を有界領域や物理的に有益な非有界領域（外部領域、Layerなど）で示すことが目的であったが、その基盤となる線形化問題の最大正則性原理を示すための一般理論の構築をR有界作用素と言う概念を導入し構成した。これは従来知られている解析半群の方法による流体数学における藤田・加藤理論を内包し準線形放物型方程式の非斉次境界条件での初期値・境界値問題の一意可解性導出のための一般理論を与える。この研究を始めた当初には予想することもなかった大理論の構築である。
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| 今後の研究の推進方策 |
・R-有界作用素の枠組みで非斉次境界条件下での放物型方程式系の最大正則性原理を周期解について示す方法を確立する。
・電磁場閉じ込めを他の電磁場をかけることにより生じるMHD方程式の2相問題の線形化理論の確立と非線形問題の時間局所解の存在を示す。
・キャビテーション現象など気液混合の複雑な流体運動の数学的記述を可能とする方程式系として期待されているNavier-Stokes-Korteweg方程式系の時間大域解の一意存在を示す。
本年度はマクスウェル・ナビエ・ストークス系の解析を行い、2次元有界領域における時間大域解を構成する。また、流体の解析に現れる函数不等式を、等式の枠組で再定式化し、最適化函数の満たすべき方程式を特徴づける。ランダム環境内の相互作用粒子系の極限として得られる放物型非線形確率偏微分方程式について，パラコントロール解析に基づき解の定式化を行い，時間大域解の存在および定常解への収束などを示す。非平衡熱流体力学系の数学的な定式化と非定常挙動の解析に関する研究を進める。
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