| 研究課題/領域番号 |
17H02831
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
高木 俊輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40380670)
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| 研究分担者 |
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70634210)
中村 勇哉 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 大域的F正則型多様体 / ファノ多様体 / 消滅定理 |
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| 研究実績の概要 |
大域的F正則型多様体とは、十分大きい素数pに対し標数pへの還元が大域的F正則多様体になるような、標数0の代数閉体上定義された射影代数多様体のことである。Karl SchwedeとKaren Smithによって、Fano型多様体と大域的F正則型多様体は一致すると予想されている（Fano型多様体ならば大域的F正則型多様体であることは彼らによって示されており、逆が未解決である）。Fano型多様体上ネフ直線束に対する消滅定理（Lがネフ直線束ならば、Lの一次以上のコホモロジーはすべて消えるという定理）が成り立つので、Schwede-Smithの予想を信じれば、同じ消滅定理が大域的F正則型多様体上でも成り立つと期待される。実際Hans Schoutensは、超準解析の手法を使って、この期待が正しいことを証明したと主張している。佐藤謙太との議論において、Schoutensの議論に誤りがあることを発見し、この期待が一般には未解決であることを確認した。さらに、Paulo Casciniとの共同研究において、反標準因子がネフであるような3次元非特異大域的F正則型多様体については、この期待が正しいことを証明した。
中村勇哉は、特異点を許すFano多様体の対数的標準中心を、特異点の双対複体を用いて研究した。その結果、3次元Fano多様体の場合に、消滅定理を使わずに対数的標準中心の形を決定することに成功した。
權業善範は、Caucher BirkarのBorisov-Alxeev-Borisov予想の証明を再検証し、対数的標準閾値の昇鎖列定理と同時に数学的帰納法を組むことで, 数学的帰納法がよりシンプルに回ることを確認した。そのアイデアをもとに大域的F正則多様体の有界性について考察した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
昨年度、研究代表者と權業善範は、Kollarの単射性定理が大域的F正則多様体上で成り立つことを証明した。昨年度に引き続き今年度も、大域的F正則多様体並びに大域的F正則型多様体上のコホモロジーの消滅定理について研究する予定だった。先行研究であるSchoutens氏の論文を精査したところ、証明の一部に誤りを発見し、Schoutens氏の超準解析の議論を発展させるという目論見が外れてしまった。そこで方針を転換し、Cascini氏との共同研究では、反標準因子がネフであるような3次元非特異有理連結多様体の分類を利用することにし、一定の成果を得ることに成功した。
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| 今後の研究の推進方策 |
大域的F正則多様体上の消滅定理として、今までは主に直線束に対する消滅定理を考えてきたが、秋月・中野の消滅定理、Le Potierの消滅定理などベクトル束に対する消滅定理がいつ成り立つか調べるのも興味深い問題である。秋月・中野の消滅定理については、Illusie、Raynaud等の結果によって、標数が十分大きければ、非特異大域的F分裂多様体上で成りたつことが知られている。そこで、多様体が特異点を許す場合について考察する。余接束が捩れのない層であることは仮定したいので、多様体は局所完全交叉な大域的F正則多様体であるとする。
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