| 研究課題/領域番号 |
17H02831
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
高木 俊輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40380670)
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| 研究分担者 |
中村 勇哉 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70634210)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 特異点の変形 / F純特異点 / F正則特異点 / 対数標準特異点 / 対数端末特異点 |
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| 研究実績の概要 |
佐藤謙太氏（九州大学）との共同研究において研究代表者は、特異点の変形に関する以下の2つの結果を得た。
(1) Xを有理数体上定義されたQ-Gorenstein正規多様体とする。整数nを上手く選ぶと、正規スキームχ からの平坦射χ→B:=Spec Z[1/n]で、生成ファイバーがXと同型になるものがとれる。Ma-Schwedeは、χがQ-Gorensteinという条件のもと、ある閉点p∈B上のファイバーがF正則ならば、Xは高々対数端末特異点しか持たないことを証明した。この結果の類似として我々は、χがQ-Gorensteinであるとき、ある閉点p∈B上のファイバーが正規かつF純ならば、Xは高々対数標準特異点しか持たないことを証明した。さらにMa-Schwedeの結果を、χがQ-Gorensteinとは限らない場合に一般化した。
(2) Rを剰余体が完全体であるような等標数の離散付置環とし、X → B:=Spec Rを固有平坦射とする。Esnault-Viehwegは標数0の場合に、閉ファイバーが2次元対数端末的ならば、生成ファイバーも対数端末的であることを証明した。この結果の正標数における類似として我々は、閉ファイバーが2次元F正則ならば、幾何学的生成ファイバーも F正則であることを証明した。
さらに、上述の2つの結果を用いることで、孤立線型簡約商特異点の変形に関するLiedtke-Martin-Matsumotoの予想を肯定的に解決した。
研究分担者の中村は、商特異点の極小ログ食い違い係数を研究し、PIA予想を商特異点について証明した。もう一人の研究分担者の權業は、退化されたファイバー上の多重標準系からの拡張問題について変形理論的視点からの研究を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題の元々の目標は、大域的F正則多様体上の豊富なCartier因子がなす線型系の一般元の性質を調べることであった。今年度は平坦射の一般ファイバーの局所的性質について調べたが、両者の研究は密接に関係している。Ma-Schwedeの結果は特異点論に大きなインパクトを与えたが、対数標準特異点の場合に類似の結果が得られたのは大きな成果と言える。新型コロナウイルス感染症拡大の影響で幾つかの成果発表がとりやめになったものの、成果は着実に得られており、研究は順調に進展している。
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| 今後の研究の推進方策 |
特異点の変形に関する研究を継続する。Rを剰余体が完全体であるような等標数の離散付置環とし、X → B:=Spec Rを固有平坦射とする。石井志保子は標数0の場合に、閉ファイバーが2次元対数標準的ならば、生成ファイバーも対数標準的であることを証明した。この結果の正標数における類似として、「閉ファイバーが2次元F純ならば、幾何学的生成ファイバーも F純か？」という問題が考えられる。今年度の研究手法をさらに発展させることで、この問題に取り組みたい。
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