| 研究実績の概要 |
シンプレクティック構造をもった複素代数多様体を特異点をもったものも含めて, 双有理幾何やポアソン変形の観点から研究するのが本研究の目標である. その中でも,複素半単純リー環のべき零軌道の閉包やその(部分的)クレパント特異点解消は, 代数幾何のみならず, 幾何学的表現論の中でも重要な対象である. すでに,べき零軌道の閉包の部分的クレパント特異点解消であるQ-分解端末化の構成に関しては,筆者や Baohua Fu, Ivan Losev らの結果がある.しかし,べき零軌道の閉包以外にも,重要な錘的シンプレクティック多様体がある.それは,べき零軌道の普遍被覆を用いて構成される. 複素半単純リー環のべき零軌道の基本群は一般に有限ではあるが自明ではない.べき零軌道の普遍被覆に付随して,べき零軌道の閉包の有限被覆が得られ,それは錘的シンプレクティック多様体になる.本年度は,こうして得られた有限被覆のQ-分解端末化について研究した. 具体的には, 次の２つの問いである: (i) Q-分解端末化を具体的に構成する方法, (ii) 相異なる Q-分解端末化は何個あるか ?
(i)に関しては,古典型のリー環の場合に,Q-分解末端化の構成のアルゴリズムを完全に決定した.(ii)に関しては,一般の半単純リー環に対して,具体的な明示公式を証明した. これらの結果を次の2つのプレプリントとしてまとめ,arXivにアップロードした.
arXiv: 1907.07812 Birational geometry for the covering of a nilpotent orbit closure,
arXiv: 1912.01729 Birational geometry for the covering of a nilpotent orbit closure II
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度おこなった研究は, 2019年4月のフランス,リュミニーでの研究集会における講演発表の準備が発端となった. それまでは意識していない問題であったが, やってみると面白い内容を含んでいることがわかり, 予想しなかった展開であった.今回の結果は,ここ数年おこなってきたべき零軌道の閉包, べき零錘の特徴付けとあわせて,錘的シンプレクティック特異点の研究をかなり進展させた.
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| 今後の研究の推進方策 |
シンプレクティック特異点の双有理幾何やポアソン変形の理論は, クーロン枝やシンプレクティック双対性の観点から、大きな注目を浴びている. A-型のべき零軌道閉包にたいするシンプレクティック双対は, A-型の別のべき零軌道のスロードウィー切片であることが知られているが, ほかのリー環に対しては、まだ不明なことも多い. また、べき零軌道の普遍被覆に対応したシンプレクティック特異点に対するシンプレクティック双対は、まったく議論されていないので、こうした問題を重点的に考えたい. さらに, 「シンプレクティック特異点には、かならず良い C^*-作用が入る」という Kaledin 予想も、本研究の重要なテーマなので、ひき続き研究をおこなう.
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