代数的サイクルと岩澤理論

2017 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 17H02836
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 小林 真一 九州大学, 数理学研究院, 教授 (80362226)
• 研究分担者: 大坪 紀之 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (60332566) ; 落合 理 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (90372606) ; 千田 雅隆 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (00451518)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 岩澤理論 / 代数的サイクル / 整数論 / 数論幾何 / L-関数

研究実績の概要

久賀-佐藤多様体やフェルマ曲線に付随する高次元代数的サイクルに関する岩澤理論およびL-関数の特殊値の研究を行った. この研究はBeilinson-Bloch-Kato予想というL-関数の特殊値と数論的不変量を結びつける整数論の中心課題に関するものである. このBeilinson-Bloch-Kato予想は非常に特別な場合として, リーマン予想とならびクレイ研究所のミレニアム問題にもなっているBirch and Swinnerton-Dyer予想を含む非常に深く広いものである. この予想に関して新しい例をひとつ見つけ, 部分的な結果を得るだけでも第一級の仕事とみなされている. また岩澤理論はこのBBK予想を示すための強力な変形理論的手法で, とくに岩澤主予想を解決するのが最重要課題になっている. 研究代表者と連携研究者の太田和惟氏は, 重さ一般の楕円保型形式の反円分拡大の岩澤主予想の研究を行い, その半分をEuler系を構成することで解決した. 近年はもう半分を示す手法も確立されつつあり, この場合の主予想の解決は大きく前進した. 分担者の千田雅隆氏と台湾国立大学/中央研究院のMing-Lun Hsieh氏は, 総実代数体上の志村曲線を用いて構成されるp進L関数について研究を行い, p進L関数のnon-vanishingを示すことができた. また, 志村曲線上の久賀-佐藤多様体の一般Heegnerサイクルについても研究を行い, p進Abel-Jacobi写像の下でのサイクルの像をColeman積分を用いて計算を行った. これらの結果はこの設定での岩澤主予想を示す上で欠かせないものである.

現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

当初の計画のとおり重さ一般の楕円保型形式の反円分拡大の岩澤主予想の半分を示すことができた. この結果を論文としてまとめるのに少し時間がかかると思われたが, すでに執筆が終わり投稿も終わっている.

今後の研究の推進方策

研究打ち合わせにより分担者と蜜にコンタクトを取る. また分担者が協力して総合的に取り組むところと, 役割分担を決めて個別に取り組む仕事を明確に分ける. また海外出張を通し, 海外の研究者とも情報交換を行う.

研究成果

• [雑誌論文] CM periods, CM regulators and hypergeometric functions, I (2018)
  • 著者名/発表者名: Asakura Masanori、Otsubo Noriyuki
  • 雑誌名: canadian mathematical journal 巻: 70 (3) ページ: 481-514
  • DOI: 10.4153/CJM-2017-008-6
  • 査読あり
• [雑誌論文] The cyclotomic Iwasawa main conjecture for Hilbert cusp forms with complex multiplication (2018)
  • 著者名/発表者名: Hara Takashi、Ochiai Tadashi
  • 雑誌名: Kyoto journal of mathematics 巻: 58 ページ: 1～100
  • DOI: 10.1215/21562261-2017-0018
  • 査読あり
• [雑誌論文] Selmer groups and central values of L-functions for modular forms (2017)
  • 著者名/発表者名: Chida Masataka
  • 雑誌名: Annales de l'Institut Fourier 巻: 67 ページ: 1231～1276
  • DOI: 10.5802/aif.3108
  • 査読あり
• [雑誌論文] CM periods, CM regulators and hypergeometric functions, II (2017)
  • 著者名/発表者名: Asakura Masanori、Otsubo Noriyuki
  • 雑誌名: Mathematische Zeitschrift 巻: 印刷中 (published online) ページ: 印刷中
  • DOI: 10.1007/s00209-017-2001-1
  • 査読あり
• [学会発表] La conjecture principale d'Iwasawa pour les deformations galoisiennes p-adiques de rank general (2017)
  • 著者名/発表者名: Tadashi Ochiai
  • 学会等名: Seminaire de la theorie des nombres/Universite; Paris 13/France
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] La conjecture principale d'Iwasawa pour les families p-adiques des formes paraboliques (2017)
  • 著者名/発表者名: Tadashi Ochiai
  • 学会等名: Seminaire de la theorie des nombres/Universite; de Grenoble/France
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Iwasawa theory for Coleman families (2017)
  • 著者名/発表者名: Tadashi Ochiai
  • 学会等名: number theory seminar/Heidelberg University/Germany
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Iwasawa theory for ideal class groups / Iwasawa theory for elliptic curves (2017)
  • 著者名/発表者名: Tadashi Ochiai
  • 学会等名: mini-lecture/Padova University/Italy
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] La conjecture principale d'Iwasawa pour les deformations galoisiennes p-adiques et le systeme d'Euler (2017)
  • 著者名/発表者名: Tadashi Ochiai
  • 学会等名: Seminaire: Groupes Reductifs et Formes Automorphes/Universite; Paris 7/France
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Iwasawa Main Conjecture for nearly ordinary deformations of higher rank (2017)
  • 著者名/発表者名: Tadashi Ochiai
  • 学会等名: workshop on p-adic L-functions and algebraic cycles/National Taiwan University/台湾
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 高階数のp擬通常的ガロワ変形の岩澤主予想について (2017)
  • 著者名/発表者名: Tadashi Ochiai
  • 学会等名: Regulators in Niseko 2017
  • 招待講演
• [学会発表] Iwasawa Main conjecture for p-adic family of elliptic modular forms (2017)
  • 著者名/発表者名: Tadashi Ochiai
  • 学会等名: Iwasawa 2017/Tokyo
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Iwasawa theory for p-adic family of modular forms (2017)
  • 著者名/発表者名: Tadashi Ochiai
  • 学会等名: Number theory seminar/Tata Institute of Fundamental Research/Mumbai/India
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Chow-Heegner cycles on products of CM elliptic curves (2017)
  • 著者名/発表者名: Masataka Chida
  • 学会等名: Fukuoka International Conference on Arithmetic Geometry in 2017
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Chow-Heegner cycles on self-products of CM elliptic curves (2017)
  • 著者名/発表者名: Masataka Chida
  • 学会等名: Workshop on p-adic L-functions and algebraic cycles/National Taiwan University
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Arithmetic diagonal cycles and special values of p-adic L-functions (2017)
  • 著者名/発表者名: Masataka Chida
  • 学会等名: UK-Japan Winter School on Number Theory/King’s College/London
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Regulators and hypergeometric functions (2017)
  • 著者名/発表者名: Noriyuki Otsubo
  • 学会等名: UK-Japan Winter School on Number Theory/King’s College/London
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] The p-adic Gross-Zagier formula for higher weight modular forms at non-ordinary primes (2017)
  • 著者名/発表者名: Shinichi Kobayashi
  • 学会等名: Fukuoka International Conference on Arithmetic Geometry in 2017
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 一般Heegner cycleの岩澤主予想 (2017)
  • 著者名/発表者名: Shinichi Kobayashi
  • 学会等名: 東北大学代数セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] Local Iwasawa theory of modular forms for the anti-cyclotomic Z_p-extension (2017)
  • 著者名/発表者名: Shinichi Kobayashi
  • 学会等名: Iwasawa 2017/ Tokyo
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Iwasawa theory for generalized Heegner cycles at non-ordinary primes (2017)
  • 著者名/発表者名: Shinichi Kobayashi
  • 学会等名: Special Cycles on Shimura Varieties and Iwasawa Theory/Bernoulli center/Lausanne
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Iwasawa theory for generalized Heegner cycles at non-ordinary primes (2017)
  • 著者名/発表者名: Shinichi Kobayashi
  • 学会等名: Workshop on p-adic L-functions and algebraic cycles/ National Taiwan University
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] 楕円曲線の反円分拡大の岩澤理論 (2017)
  • 著者名/発表者名: Shinichi Kobayashi
  • 学会等名: 新潟代数セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] 保型形式の反円分岩澤理論 (2017)
  • 著者名/発表者名: Shinichi Kobayashi
  • 学会等名: 東京電機大学 数学講演会
  • 招待講演
• [学会発表] Lectures on the p-adic Gross-Zagier formula (2017)
  • 著者名/発表者名: Shinichi Kobayashi
  • 学会等名: Lecture series in Fudan University
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会・シンポジウム開催] Motives in Tokyo on the occasion of Shuji Saito's 60th Birthday (2017)