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2018 年度 実績報告書

離散群の非等長的作用の剛性と非線形スペクトルギャップ

研究課題

研究課題/領域番号 17H02840
研究機関名古屋大学

研究代表者

納谷 信  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70222180)

研究分担者 井関 裕靖  慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (90244409)
研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2022-03-31
キーワードスペクトルギャップ / 球面内の極小曲面 / 高次元多面体 / グラフの最適埋め込み
研究実績の概要

昨年度、ボルツァ曲面とよばれる種数2の閉リーマン面上のある特異計量(リーマン面の構造と両立するもの)が面積一定という条件下でラプラシアンの第1固有値を最大化するという成果(ジャコブソン-レビティン-ナディラシュヴィリ-ニガム-ポルテロヴィッチ予想の肯定的解決)を論文にまとめてジャーナルに投稿したが、昨年度から今年度にかけてレフェリーの要求に対応して論文の修正に努め、無事出版にこぎつけることができた。また、今年度は、最大化計量が(高次元)球面への第1固有関数による極小はめこみから誘導される計量として与えられることをふまえて、球面内の種数2以上の極小閉曲面の構成について考察を進めた。具体的には、3次元球面の場合のローソン等によるプラトー問題の解を折り返して極小閉曲面を得るという手法が高次元の場合に適用可能であるという前提で、この構成に使える高次元多面体の可能性について検討した。
また、非線形スペクトルギャップと関連して、我々が考察していた有限グラフの線形スペクトルギャップの最大化問題とユークリッド空間への最適埋め込みの問題が半正値計画問題として互いに双対の関係にあることが証明できた。昨年度から考察していた位相的にフラーレンと同型なグラフ上の重みを、線形スペクトルギャップを最大化するように定める問題についても解決をみた。この研究は五明工氏(名古屋大学大学院多元数理科学研究科博士後期課程3年)との共同研究である。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

有限グラフの線形スペクトルギャップの最大化問題とユークリッド空間への最適埋め込みの問題が半正値計画問題として互いに双対の関係にあることが証明できた。また、昨年度から考察していた位相的にフラーレンと同型なグラフ上の重みを、線形スペクトルギャップを最大化するように定める問題についても解決をみた。さらに、線形スペクトルギャップの最大化問題の連続モデルと捉えられる問題への成果をまとめた論文について、レフェリーの要求に対応して出版にこぎつけることができた。

今後の研究の推進方策

今後は、有限グラフの線形スペクトルギャップの最大化問題とユークリッド空間への最適埋め込みの問題が半正値計画問題として互いに双対の関係にあるという成果の、非線形スペクトルギャップの研究への応用を目指す。また、連続モデルの研究、とくに第1固有値を最大化する計量の候補を与える極小閉曲面の構成に取り組む。さらに、離散群のヒルベルト空間へのアフィン等長作用に関して同変な離散群からヒルベルト空間への離散的調和写像の存在定理を強化する方向での研究を推進するとともに、ヒルベルト空間をバナッハ空間に置き換えて非等長的作用に関する固定点定理を一般化する方向でも考察を進める。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2019 2018

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 1件、 招待講演 3件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [雑誌論文] Metrics on a closed surface of genus two which maximize the first eigenvalue of the Laplacian2019

    • 著者名/発表者名
      Shin Nayatani, Toshihiro Shoda
    • 雑誌名

      Comptes Rendus Mathematique, Academie des Sciences, Paris

      巻: 357 ページ: 84-98

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] Metrics maximizing the first eigenvalue of the Laplacian on a closed surface and extra eigenfunction (Mini-course)2019

    • 著者名/発表者名
      Shin Nayatani
    • 学会等名
      UK-Japan Winter School "Variational problems in geometry and mathematical physics"
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 高次元多面体と極小曲面2019

    • 著者名/発表者名
      Shin Nayatani
    • 学会等名
      高次元多面体勉強会
  • [学会発表] ラプラシアンの第1固有値を最大化する閉曲面上の計量について2018

    • 著者名/発表者名
      Shin Nayatani
    • 学会等名
      福島幾何学研究集会2018
    • 招待講演
  • [学会発表] ラプラシアンの第1固有値の最大化と極小曲面(企画特別講演)2018

    • 著者名/発表者名
      Shin Nayatani
    • 学会等名
      2018年度秋季総合分科会
  • [学会発表] Bolza曲面上の三つの計量2018

    • 著者名/発表者名
      Shin Nayatani
    • 学会等名
      研究集会「Geometry of Riemann surfaces and related topics」
    • 招待講演
  • [学会・シンポジウム開催] Rigidity School Nagoya 20182018

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公開日: 2019-12-27  

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