| 研究実績の概要 |
多様体の埋め込みとラプラシアン第1固有値に関する最適化問題について研究を行った. 与えられたリーマン多様体からユークリッド空間への1リプシッツ写像全体にわたって分散を最大化する問題を考える. この問題の双対問題を定式化することができ, ある一つの制約条件をみたすすべてのリーマン計量にわたって重み付きリーマン多様体のBakry-Emeryラプラシアンの第1固有値を最大化する問題となる. (ここで, 体積要素は初期リーマン計量のそれであり, また, 制約条件にも初期リーマン計量が関係する.) いくつか最適化問題が解ける例を与え, とくに, 初期計量として2次元トーラス上の任意の平坦計量をとったとき, 最適化問題をほぼ完全に解く事ができた. また, Nadirashvili型定理を証明した. この定理は, 第1固有値最大化問題が解けたならば, 埋め込み最適化問題も解けて, 分散最大の等長はめ込みが得られることを主張する.
以上の研究とは逆方向の研究として, 閉曲面上でラプラシアンの第1固有値を最大化するリーマン計量を求める問題のグラフにおける離散類似を定式化する研究に着手した. この場合, グラフの辺長パラメータだけからラプラシアンを定義することが最初の課題となる. 今年度は, 頂点ウェイトや辺ウェイトの定め方について, 様々な選択枝を試み, それぞれの場合にNadirashvili型定理を定式化することができた.
ある種のランダム群のヒルベルト空間へのアフィン等長作用が必ず固定点をもつという結果を得ていたが, この結果に関連して, ランダム群が無限個の共役類を持つことを確認できた.
昨年度に続き, 高次元球面内の極小曲面の構成に向けて, DPW法を実装する研究を行った. とくに, 7次元球面内の極小曲面に対してSym-Bobenko公式を定式化する試みを行った.
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