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2018 年度 実績報告書

被覆モノポール写像度の構成とその応用

研究課題

研究課題/領域番号 17H02841
研究機関京都大学

研究代表者

加藤 毅  京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)

研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2021-03-31
キーワードゲージ理論 / 非可換幾何学 / K理論
研究実績の概要

今年度は主に5つの成果がある。完備4次元リーマン多様体上のL^2調和形式の存在と、計量の変形によるサイバーグ・ウィッテン極限解との関係を明らかにし、それを用いて新しい関数空間の枠組みにおけるサイバーグ・ウィッテン理論の構成を行った。二つ目の成果は、誘導された群作用付きヒルベルト・クリフォードC^*代数のK群の具体的な計算例を与えたことである。ソボレフ空間の間に具体的な非線形の写像を与え、それから構成されるK群の計算を初めて実行できた。三つ目は、ねじれサイバーグ・ウィッテン理論の構成である。研究の流れとしては、まず族のサイバーグ・ウィッテン理論の非可換化を行うことである。非可換化因子が二つあることがわかり、一つは構造群でもう一つは族のパラメーター空間である。構造群の非可換化を行うことで、ねじれサイバーグ・ウィッテン方程式の一般的な定式化はうまくいった。しかし有限次元表現のケースで、モジュライ空間のコンパクト性が成立しないことがわかった。一方で自明表現の場合に2つの相異なるinvolutionを導入し、それらでfixされる解はコンパクトであることが、具体的な計算を行うことでわかった。今後はその変形理論を構成することが課題となる。また族のパラメーター空間の非可換化の場合、有限群のケースは常にモジュライ空間はコンパクトであるが、ねじれサイバーグ・ウィッテン方程式の一般的な定式化はまだなされておらず、現在継続して研究を行っている。四つ目は、ナーム変換の非可換幾何学による一般化を行い、自由アーベル群のケースで具体的な計算を与えた。最後に、族のサイバーグ・ウィッテン理論を応用することで、今野・中村らとともに、族の4次元多様体で、位相的にはファイバー束としての構造を持つがその構造はsmoothにならず、さらにトータル空間自体はsmoothing可能な例を与えた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

今年度は主にに5つの研究成果があった。

今後の研究の推進方策

被覆モノポール写像度は、線形化写像が同型であるという仮定の元で定義が与えられていた。しかし無限巡回群など基本的な無限群の例はそれをみたしていない。そのようなケースで被覆モノポール写像度を定めるためのあるアイデアがKasparov氏との議論において与えられた。今後はそれを実行することが一つ目の研究の推進方策である。二つ目は、構造群非可換化ねじれサイバーグ・ウィッテン理論において、involutionをfixする固定解のモジュライ理論の構成である。三つ目は、族のパラメーター空間の非可換化におけるねじれサイバーグ・ウィッテン方程式の一般的な定式化を与えることである。

  • 研究成果

    (12件)

すべて 2019 2018 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 1件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 4件、 招待講演 5件) 備考 (1件) 学会・シンポジウム開催 (3件)

  • [国際共同研究] ECNU(中国)

    • 国名
      中国
    • 外国機関名
      ECNU
  • [雑誌論文] L2 harmonic forms and the Seiberg-Witten map on non compact four manifolds2018

    • 著者名/発表者名
      Tsuyoshi Kato
    • 雑誌名

      arXiv

      巻: 1807.06741 ページ: 1-26

  • [雑誌論文] Higher Nahm transform in non commutative geometry2018

    • 著者名/発表者名
      T. Kato, H. Sasahira and H. Wang
    • 雑誌名

      arXiv

      巻: 1807.08239 ページ: 1 - 26

    • 国際共著
  • [学会発表] Higher Nahm transform in non commutative geometry2018

    • 著者名/発表者名
      T. Kato
    • 学会等名
      2018 Spring operator algebra program at ECNU
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Higher Nahm transform in non commutative geometry2018

    • 著者名/発表者名
      T. Kato
    • 学会等名
      Workshop on Noncommutative Geometry and Representation Theory/四川大学
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Twisted Donaldson invariant2018

    • 著者名/発表者名
      T. Kato
    • 学会等名
      Colloquium talk at University of New South Wales
    • 招待講演
  • [学会発表] Twisted Donaldson invariant2018

    • 著者名/発表者名
      t. Kato
    • 学会等名
      Gauge Theory and Applications at Regensburg
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Non commutative geometry and gauge theory2018

    • 著者名/発表者名
      T. Kato
    • 学会等名
      Geometry, Analysis, Groups at Euler Institute, St Petersburg
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考] 京都大学教育研究活動データベース

    • URL

      https://kyouindb.iimc.kyoto-u.ac.jp/j/cA2iC

  • [学会・シンポジウム開催] Geometry and Everything2019

  • [学会・シンポジウム開催] East Asian conference on Gauge theory and related topics2018

  • [学会・シンポジウム開催] K theory and index theory2018

URL: 

公開日: 2019-12-27  

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