| 研究課題/領域番号 |
17H02846
|
|---|
| 研究機関 | 福岡大学 |
|---|
研究代表者 |
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
|
|---|
| 研究分担者 |
太田 慎一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (00372558)
石渡 聡 山形大学, 理学部, 准教授 (70375393)
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
|
| キーワード | Dirichlet 形式 / リーマン多様体 / 曲率次元条件 / RCD空間 / MCP空間 |
|---|
| 研究実績の概要 |
桑江は境界の無い完備リーマン多様体上の非対称Laplace 作用素を考え, 対応する N-Bakry-Emery Ricci tensor に, Lu-Minguzzi-Ohtaが導入し証明したε-range を伴うリッチ曲率下限条件を与えたときのLaplace 作用素の比較定理を基に、種々の幾何学的剛性定理を導出した。さらに勾配型の場合に最適輸送理論による特徴づけに与えることに成功した。また 境界付の場合に境界上の平均曲率下限条件を与えたときのLaplacian の比較定理も証明した。以上の結果は埼玉大学の櫻井陽平氏との共同研究である。太田は対数ソボレフ不等式で等号が成立するのは一次元ガウス空間と重みつきリーマン多様体の直積のときに限ることを最適輸送理論を用いて示した（高津氏（都立大）との共同研究）。また、同じく最適輸送理論により、Bakry-Ledoux型等周不等式の定量的な評価（安定性）を与えた（Mai氏（京都大）との共同研究）。石渡はparabolic (ブラウン運動が再帰的）である多様体の連結和上の熱核についてAlexander Grigor'yan 教授、Laurent SaloffCoste教授と共同研究を行い、critically ordered end condition (COE)という条件のもとで熱核のシャープな評価を得た。更にこれを用いてポアンカレ定数の評価を得た。また、慶應義塾大学の河備浩司教授、および立命館大学の難波龍弥助教とともに、べき零被覆グラフ上の非対称ランダムウォークについての中心極限定理を示し、極限作用素としてべき零Lie群上のドリフト付きラプラシアンを生成作用素とする熱半群に収束させることができることを示した。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
桑江は埼玉大学の櫻井陽平氏との共同研究により、Lu-Mingucchi-Ohta の研究成果が我々の枠組みに活かせることが判明した結果、新たな進展があり多くの実りある結果を得ることができた。また京都大学数理解析研究所の森隆大氏の最新の研究成果を知ることで報告者の過去の研究成果が森氏の枠組みにおいて発展できることが判明し、その結果大きな進展が得られたのが大きい。
|
| 今後の研究の推進方策 |
桑江はパラメータmが非正の場合のBakry-Emeryリッチテンソルの下限条件のもとで幾何解析、とくにV-調和写像やV-調和関数の勾配評価やそのLiouville 型定理の導出を目指す。これらは中国科学院教授 Xiangdong Li 氏との新しいタイプのラプラシアン比較定理とその幾何学的、あるいは確率論的応用に関する共同研究のなかで幾何解析を展開するという目標の一つであったものである。しかし研究当初においてLaplacian の比較定理が思ったほど有効に動作せず、成果の導出を断念した経緯があった。しかしながら最近の櫻井陽平氏との共同研究の中で新たな重要で知見が得られ、それを活用することで成立する見込みがたったため、今年度前期中に成果を出す予定である。
|
