空間の構造と解析の関わりーフラクタルを出発点としてー

2017 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 17H02849
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
• 研究分担者: 相川 弘明 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20137889) ; 桑田 和正 東北大学, 理学研究科, 教授 (30432032) ; 日野 正訓 京都大学, 理学研究科, 教授 (40303888) ; 角 大輝 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (40313324) ; 秋山 茂樹 筑波大学, 数理物質系, 教授 (60212445) ; 宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606) ; 熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509) ; 梶野 直孝 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (90700352) ; 白石 大典 京都大学, 情報学研究科, 講師 (00647323)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: フラクタル / 解析学 / ラプラシアン / 熱核

研究実績の概要

研究代表者木上は、自己相似集合などのフラクタルをモデルとした距離空間の partition とその上の weight function の理論について研究を進めた。特に、weight function に適合する距離が存在するための必要十分条件は、partition と weight function から決まる距離空間の resolution がグラフの距離に関して Gromov の意味で hyperbolic であることを示した。さらにその場合には、グラフの hyperbolic 境界ともとの距離空間が同相となり weight function から決まる距離は、いわゆる visual metric と一致することも示した。また、weight function の理論の応用として、resolution の horizontal な subgraphs が定める p-energy の臨界指数が Ahlfors regular conformal 次元と一致することを示した。さらにこの事実を用いて、Sierpinski carpet などのフラクタル上のラプラシアンから決まるスペクトル次元と Ahlfors regular conformal 次元の関係を明らかにした。
分担者白石は、一様全域木やパーコレーションといった統計物理に背景を持つマルコフ性を持たない確率モデルが、漸近的な意味で独立性を持つという性質をカップリングの手法を用いて証明することに成功した。
分担者相川は、半径一定の容量密度平均の下限を考え，半径が大きくなったときの極限が0か1しかないことを距離測度空間に対して示した。
分担者熊谷は、広い範疇のsubordinatorから作られる一般化された分数冪時間微分熱方程式の弱解の存在と一意性、そして解の確率論的表現について解析し、その熱核の精密な上下評価を導出した。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

初年度であったため、発表論文の件数は多くないが国際研究集会での招待講演の数などからみても、研究は順調に進展しつつあるといえる。

今後の研究の推進方策

昨年度は、おおむね順調に研究が進展したので、それを受けて申請時の研究計画、本年度の交付申請書に記した研究計画に基づいて粛々と研究を進展させる。

研究成果

• [国際共同研究] University of California, Los Angeles/Cornell University/University of Connecticut(米国)
  • 国名: 米国
  • 外国機関名: University of California, Los Angeles/Cornell University/University of Connecticut
• [国際共同研究] University of Oxford/University of Warwick(United Kingdom)
  • 国名: 英国
  • 外国機関名: University of Oxford/University of Warwick
• [国際共同研究] University of British Columbia(Canada)
  • 国名: カナダ
  • 外国機関名: University of British Columbia
• [国際共同研究] University of Stuttgart(Germany)
  • 国名: ドイツ
  • 外国機関名: University of Stuttgart
• [雑誌論文] Growth exponent for loop-erased random walk in three dimensions (2018)
  • 著者名/発表者名: D. Shiraishi
  • 雑誌名: Ann. Prob. 巻: 46 ページ: 687-774
  • DOI: 10.1214/16-AOP1165
  • 査読あり
• [雑誌論文] Time-changes of stochastic processes associated with resistance forms (2017)
  • 著者名/発表者名: D.A. Croydon, B.M. Hambly, T. Kumagai
  • 雑誌名: Electron. J. Probab. 巻: 22 ページ: 1-41
  • DOI: 10.1214/17-EJP99
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Pointwise Hoelder exponents of the complex analogues of the Takagi function in random complex dynamics (2017)
  • 著者名/発表者名: J. Jaerisch and H. Sumi
  • 雑誌名: Adv. Math. 巻: 313 ページ: 839-874
  • DOI: 10.1016/j.aim.2017.04.021
  • 査読あり
• [雑誌論文] Zero noise limit of a stochastic differential equation involving a local time (2017)
  • 著者名/発表者名: K.Kuwada and T. Matsumura
  • 雑誌名: Osaka Journal of Mathematics 巻: 未定 ページ: 未定
  • 査読あり
• [雑誌論文] Dichotomy of global capacity density in metric measure spaces (2017)
  • 著者名/発表者名: H. Aikawa, A. Bjorn, J. Bjorn, N. Shanmugalingam
  • 雑誌名: Advances in Calculus of Variations 巻: 未定 ページ: 未定
  • DOI: 10.1515/acv-2016-0066
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Invariant measure of rotational beta expansion and a problem of Tarski (2017)
  • 著者名/発表者名: S. Akiyama and J. Caalim
  • 雑誌名: Discrete & Computational Geometry 巻: 57 ページ: 357-370
  • DOI: 10.1007/s00454-016-9849-4
  • 査読あり / 国際共著
• [学会発表] Construction of metrics on a compact metric spaces (2017)
  • 著者名/発表者名: 木上 淳
  • 学会等名: 6th Cornell Conference on Analysis, Probability, and Mathematical Physics on Fractals
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Ahlfors regular conformal dimension and critical value of p-energies of a compact metric space (2017)
  • 著者名/発表者名: 木上 淳
  • 学会等名: 1134th AMS Sectional Meeting
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Asymptotic behavior of lifetime sums for random simplicial complex processes (2017)
  • 著者名/発表者名: 日野 正訓
  • 学会等名: Japanese-German Open Conference on Stochastic Analysis 2017
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Time changes of stochastic processes associated with resistance forms (2017)
  • 著者名/発表者名: 熊谷 隆
  • 学会等名: 6th Cornell Conference on Analysis, Probability, and Mathematical Physics on Fractals
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Finding roots of any polynomial by random relaxed Newton's methods (2017)
  • 著者名/発表者名: 角大 輝
  • 学会等名: AMS sectional meeting
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Geometry of Brownian motion (2017)
  • 著者名/発表者名: 白石 大典
  • 学会等名: Japanese-German Open Conference on Stochastic Analysis 2017
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Rigidity for the spectral gap on RCD (K,\infty) spaces (2017)
  • 著者名/発表者名: 桒田 和正
  • 学会等名: 39th conference on stochastic processes and their applications
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Dichotomy of global capacity density (2017)
  • 著者名/発表者名: 相川 弘明
  • 学会等名: Probability and Analysis 2017
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Around discretized rotation (2017)
  • 著者名/発表者名: 秋山 茂樹
  • 学会等名: Numeration 2017
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Matings and Thurston obstruction (2017)
  • 著者名/発表者名: 宍倉光広
  • 学会等名: Complex dynamics and quasi-conformal geometry
  • 国際学会 / 招待講演