| 研究課題/領域番号 |
17H02850
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
盛田 健彦 大阪大学, 理学研究科, 教授 (00192782)
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| 研究分担者 |
杉田 洋 大阪大学, 理学研究科, 教授 (50192125)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 極限定理 / エルゴード理論 / 力学系 / 転送作用素 / 熱力学形式 |
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| 研究実績の概要 |
平成29年度に引き続き、代表者が以前発表した1次元力学系の中心極限定理から派生する局所極限定理と観測量の分解を「ひな形となる定理」と位置づけ、以下のような研究を行った。
(1) 観測量の分類や極限分散の非退化条件の特定に関連して、狭義定常列におけるマルチンゲールコバウンダリー分解の一意性についてエルゴード分解によらない新しい証明を与え、論文 “An alternative proof of the uniqueness of martingale-coboundary decomposition of strictly stationary processes”にまとめ、既存の証明が掲載されている学術雑誌へ投稿したところ掲載が決定した。
(2) 「ひな形となる定理」における混合性条件を精査する工程の副産物として、ランダム力学系に関する標本毎中心極限定理に関する結果を得て、2018年11月大阪大学で開催された研究集会「エルゴード理論とその周辺」での招待講演“Sample-wise central limit theorem with deterministic centering for non- singular random dynamical system”で発表した。
(3) 「ひな形となる定理」をモジュラー曲上の測地流の周期軌道分布の解析に応用した研究を２次微分のモジュライ空間上のタイヒミュラー測地流の場合に拡張する試みについては、代表者による先行研究をさらに発展させるアイデアを得た。これに関しては過去の成果も含め2019年2月に早稲田大学で開催された2018年度「リーマン面・不連続群論」研究集会の招待講演において解説した。
以上の結果は本研究と同時に進めている「ゆらぎの定理」と関係する他の研究課題とも連動しており、相互に一方が他の研究の駆動力となることが期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成30年度は以下の段階に重点を置いた研究を行う予定であった。
（第2段階）参照測度に非特異な変換があり、参照測度に関するPerron-Frobenius作用素が擬コンパクトとなるようなBanach代数で、本質的有界関数の空間に連続的に埋め込まれ、かつ可積分関数の空間で稠密となっているようなものが存在するという条件下で「ひな形となる定理」を証明するというのがこの段階であるが、極限分散の非退化性や考えているBanach代数の構成要素の分解を得るためには何らかの正則性の条件を課す必要がある。具体的な応用例を見据えながら、その条件に相応しいものを抽出する作業が残っており、それを終わらせるべく研究を推進する。
（第3段階）「ひな形となる定理」はモジュラー曲面の測地流に関係した応用については不十分であったため、その後本研究代表者によって改良されている。それに対応する改良を第２段階で得られた Bamach代数についても実行しておかなければ先行研究の真の拡張とはいえない。そこで、観測量に対応する関数がこのBanach代数には属さないもののPerron-Frobenius作用素を何回か作用させることによってその Banach 代数に落ち込むという仮定のもとで第2段階と同様の結果を示す。必要に応じて議論の単純化のため「混合性条件」を再び仮定する必要性もあると考えている。
第2段階はほぼ終了しているが、本研究の主要部分である第3段階については前の二つの段階ほど順調とはいえない。ただし、第3段階が難航することは当初計画においても2019年度以降に持ち込まれることが想定されており、並行して研究を推進することを考えていた Poisson 法則や大偏差原理の研究を後年度に回すことで対応する予定であった。したがって、平成30年度の研究の進捗状況としては概ね当初の計画どおりに進んでいると思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究は三つの目標「 (i) 代表者によって 20年ほど前に得られたLasota-Yorke 変換に関する局所中心極限定理と観測量の分解定理（以下「ひな形となる定理」という）の成立条件を精査し一般化する」「(ii) Poisson 法則や大偏差原理など他の極限定理に対しても「ひな形となる定理」に対応する結果を導く」「(iii) 得られた「ひな形となる定理」の一般化をタイヒミュラー測地流の周期軌道分布の研究などに応用する」を掲げ、六段階の工程に分けて研究を推進する計画となっている。平成30年度半ばからは「（第3段階）応用の観点から、観測量に当たる関数自身が第2段階で得られたBanach 代数に属さない場合でもPerron-Frobenius作用素の反復作用によってそのBanach 代数に落ち込むという条件下で「ひな形となる定理」の類似を示す」に入っている。第3段階は本研究課題の最重要部分で当初からその難航が予想されており、2019年度以降に計画されている第4段階から第6段階より重点をおいて取り組むことになっていた。したがって、大偏差原理やPoisson法則に関する目標(ii)についても並行して研究は継続するが、引き続き第3段階に重点を置き、モジュラー曲面上の測地流の一般化と見なすことができる正則二次微分のモジュライ空間上のタイヒミュラー測地流と関連した線形対合が具体的な例となるような形で第3段階を終結させるべく研究を推進する。
以上の計画を実施するとともに、平成30年度と同様に通常の研究連絡や研究打ち合わせの他に、11月～12月の適当な時期に当初の研究組織構成員に加え２、３名の研究協力者に加わっていただき「エルゴード理論とその周辺（仮称）」のような集会名の研究集会を開催する予定である。これによって、国内の研究組織外および海外の研究者と情報交換などの交流ができればと思っている。
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