| 研究課題/領域番号 |
17H02850
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
盛田 健彦 大阪大学, 理学研究科, 教授 (00192782)
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| 研究分担者 |
杉田 洋 大阪大学, 理学研究科, 教授 (50192125)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 極限定理 / エルゴード理論 / 力学系 / 転送作用素 / 熱力学形式 |
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| 研究実績の概要 |
平成30年度に引き続き、代表者が20年ほど前に発表した1次元力学系の中心極限定理から派生する局所極限定理と観測量の分解を「ひな形となる定理」と位置づけ、その拡張にあたる工程に取り組んだ。当該年度の研究計画終盤において、応用の観点から転送作用素が作用する空間を想定以上に広げる必要が生じ、研究方式の決定が難しい局面も生じたものの、以下の研究成果を得ることができた。
(1) 前年の平成30年度の研究において「ひな形となる定理」における混合性条件を精査する工程の副産物として得られたランダム力学系に関する標本毎中心極限定理に関する結果を精密化するとともに、関連して様々な具体例を構成した。これらの結果については2019年8月29日～9月2日に京都大学で開催された国際研究集会「Research on the theory of random dynamical systems and fractal geometry」での招待講演“Sample-wise central limit theorem with deterministic centering for nonsingular random dynamical systems”で発表した。
(2) 上述の(1)の研究結果の中で出現したランダム力学系と、その直積系それぞれに対応する歪積変換のエルゴード理論的性質との関係を、直積系に対応する歪積変換の転送作用素が漸近安定であるという条件の下で考察し、ランダム力学系と、その直積系の標本毎の混合性に関するいくつかの結果を得た。これらについては、2019年11月20日～11月23日 まちなかキャンパス長岡 で開催された研究集会「エルゴード理論とその周辺」での講演“Direct product of nonsingular random dynamical systems”で発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当初の計画における６段階のうち、第1段階、第2段階は令和元年度までに終了している。平成30年度半ばから取り組んでいる本研究課題において最も重要な以下の第3段階については現在も研究を継続している。
（第3段階）「ひな形となる定理」はモジュラー曲面の測地流に関係した応用については不十分であったため、その後本研究代表者によって改良されている。それに対応する改良を第２段階で得られた Bamach代数についても実行しておかなければ先行研究の真の拡張とはいえない。そこで、観測量に対応する関数がこのBanach代数には属さないもののPerron-Frobenius作用素を何回か作用させることによってその Banach 代数に落ち込むという仮定のもとで第2段階と同様の結果を示す。
第3段階が難航することは当初計画において想定されており、令和元年度以降にずれ込むことになった場合には、Poisson 法則や大偏差原理の研究を後年度に回すことで対応することも予定されていた。しかし、令和元年度半ばに応用上の観点から観測量にあたる関数のクラスをさらに広げる方向に舵を切ったことにより、転送作用素に関わる基本不等式の枠組みの見直し等が生じ、研究の方式の決定に時間をとられ、第3段階の研究期間のさらなる延長が必要になった。そのため、第４段階から第6段階については当初想定していた以上に繰り下げての実施とせざるを得ない。したがって、令和2年度も更新された意味での第3段階の研究の一部を推進する必要に迫られている。方式の更新によって、期待される結果は当初の計画より応用範囲が広くなる可能性はあるが、令和元年度の研究の進捗状況としては若干遅れ気味であると言わざるを得ない。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究が掲げる３つの目標の達成に向けて設定した６つの工程のうち、第3段階の研究を遂行中であり、観測量に当たる関数自身が第2段階で得られたBanach 代数に属さない場合でもPerron-Frobenius作用素の反復作用によってそのBanach 代数に落ち込むという条件下で「ひな形となる定理」の類似を示すという目標に向かって研究を推進して来た。ところが、令和元年度半ばに応用の観点から観測量のクラスを当初計画以上に広げる必要が生じ、基本的な不等式の幾つかについて更なる精査が必要となった。第3段階については当初からその難航が予想されており、遅れが生じた場合にも第4段階から第6段階より優先して取り組むことも計画されている。そこで、令和2年度については、その他の研究計画より優先的に拡張・修正された意味での第3段階の研究を継続する予定である。したがって、令和2年度は「ひな型となる定理」のみならず Poisson 法則や大偏差原理の導出と並行して，引き続き更新された形での第3段階の完成を試みる。令和2年度当初においては年度内に令和元年度の遅れを取り戻すことができる可能性も視野に入れていたが、感染症の蔓延によって研究協力者との交流もままならぬ状況が生じているため、それは難しいと考えられる。そこで第4段階と第5段階の遂行については研究着手時期を先にのばすことが見込まれる。具体的には、連続時間の力学系のクラスに対して第3段階までに相当する結果の導出を試みるという研究、および第4段階で得られた結果の双曲性が一様でない力学系へ応用に関する研究については最終年度にもちこすことになる可能性が高い。
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