| 研究課題/領域番号 |
17H02854
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
中西 賢次 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40322200)
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| 研究分担者 |
水谷 治哉 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (10614985)
眞崎 聡 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (20580492)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 非線形波動 / 散乱理論 / ソリトン / 爆発解 |
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| 研究実績の概要 |
眞崎は空間２・３次元においてゲージ不変型の非線形項を持つ Klein-Gordon 方程式の長距離散乱について調べ、複素数値解の場合に位相修正を与える Fourier 係数の計算を超幾何関数で与え直し、また、Klein-Gordon 方程式の結果において、先行研究と全く同じ仮定で解の存在する空間の滑らかさの範囲を拡張した。
中西は空間４次元における Zakharov 系の有限エネルギー解について調べ、全エネルギーと波動エネルギーに関して基底状態以下にある解は全て時間大域的であることを示した。これは球対称の場合の先行研究の拡張であり、そのためにエネルギー条件を満たす波動方程式の解をポテンシャルとする Schrodinger 方程式に対する一様大域的 Strichartz 評価を導出した。球対称の条件を除くために本質的な役割を果たしているのが、空間非共鳴性を反映した（自由方程式に対する）双線形 Strichartz 評価である。また、concentration compactness における空間分離に対処するため、自由 Schrodinger 方程式の分散性減衰評価と局所平滑化効果を用いた。
また、1次元で長距離型非線形項と時空依存の線形ポテンシャルを持つ Schrodinger 方程式の長時間挙動について調べ、解がソリトンの様な局在化部分と放射性部分に分解した場合、放射性部分が線形解に漸近することは無いことを証明した。局在部分の仮定は非常に一般的で、多重ソリトンやブリーザーなどの典型例だけでなく、時間減衰する速度で空間的に拡散する成分も許される。
水谷はこの結果を一般の境界（接合）条件を持つ星型グラフ領域上に対して拡張した。証明の大筋は直線上の議論に従うが、線形散乱理論を用いて 0-Dirichlet 境界条件に帰着させる所がポイントである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度の研究においても、現象解明と技術開発の両面において着実に成果を積み上げており、今後も持続的な発展が期待できる。特に Zakharov 系の結果における一様大域 Strichartz 評価は、スペクトル散乱理論と concentration compactness(変分法)と双線形評価(調和解析)を統合して導出されるもので、結論自体は地味だが技術的には重要な到達点と考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究も当初計画通り、(1)安定ソリトンを含む大域ダイナミクス (2)様々なソリトンと周辺のダイナミクス (3)新たな解の探索 (4)線形化時空評価 (5)線形化作用素のスペクトル (6)波動乱流 (7)確率波動、を課題として研究を進める。
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