| 研究実績の概要 |
非局所項を伴う非線形楕円型方程式に対して特異摂動問題を中心に研究を行った. 一般的な非線形項を伴う場合を S. Cingolani 氏と共に研究を行い, ポテンシャル関数の極小点に凝集する解を構成すると共に, ポテンシャル関数の極小点集合の位相的性質 (cup length) により凝集解の個数を下から評価することに成功した. このような凝集解の存在結果は局所問題である非線形シュレディンガー方程式の場合に S. Cingolani 氏, L. Jeanjean 氏と共に極限方程式に対して一意性, 非退化性を仮定せずに求めているが, 今回得られた結果はその非局所問題に拡張したものである. ここでは単に結果を拡張するのみではなく, Moroz と Van Schaftingen により提示された locally sublinear case での特異摂動解の存在問題に対して肯定的な解答を与えることに成功している.
非線形シュレディンガー方程式に対する L2-制限問題 (normalized 解の存在問題) に関しては Langrange formulation を用いた新たなアプローチの開発に成功した. このアプローチは古くからある制限付き変分問題に対する方法に Pohozaev の等式関連したスケーリングの手法を加味したものであるが, 従来行われてきた sub additivity 不等式を用いた方法と比べると非常に柔軟な方法であり, 非常に一般的な設定で非線形項が奇関数の場合に無限個の解が生成できる等応用の幅も大きい. この手法は非線形 Choquard 方程式等の非局所項を含む非線形問題に対する L2-制限問題へのアプローチも可能にすると思われ, さらなる発展が期待される.
なお, 研究分担者, 小澤は semi-relativisitic シュレディガー-ポアソン-スラッター方程式の ground state に関する結果, 連携研究者 生駒は非局所問題である fractional ラプラシアンをもつスカラーフィールド方程式に関する結果を得ている.
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| 今後の研究の推進方策 |
L2-制限問題 (normalized 解の存在問題) について今回新しく開発した Lagrange formulation を用いた新しいアプローチは多くの非局所問題にも応用できると考えている. 当初の計画にはなかった非線形 Choquard 方程式, 非線形 pseudo-relativistic 方程式に対する L2-制限問題にもアプローチができることがわかってきた. さらなる理論の整備と応用に取り組みたい.
ポテンシャル関数の極大点, 鞍点での凝集解の存在問題も非常に興味ある問題であり, 準線形方程式に対する応用を意識して取り組みたい. 準線形方程式に対しては極小点であってもほとんど存在結果が得られていないのが現状である.
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