| 研究実績の概要 |
非線形楕円型方程式に対する L2-制限問題等について研究を行った. L2-制限問題は物理的に重要な対象である. ここでは新たな変形理論 (deformation theory) を開発し, ミニマックス法等により L2-制限問題の解の存在を示し, また多重度を得ることに成功した. ここで展開されている変形理論は通常の Palais-Smale 条件の下のものではなく, Pohozaev 関数の効果を加えた Palais-Smale-Pohozaev 条件 (PSP) の下で展開され, 非線形スカラーフィールド方程式をはじめとする種々の問題に適用可能であると共に証明の簡略化を与える. 有名な結果である Berestycki-Lions の結果を制限問題を経由せずに証明を与えることも可能である.
さらに拘束条件に対応する関数空間内の超局面 (さらに一般に submanifold) 上で PSP 条件の下での変形理論を展開することにより, 連立シュレディガー方程式系に対する L2 制限問題等を扱うことが可能となった. Bartsch-Soave らの結果もこの枠組みで扱うことができ, さらなる発展が見込まれる.
非局所問題, 特に Choquard 方程式に対しても L2-制限問題を考察し, Lagrangian formulation の下で (PSP) 条件の下での変形理論を用いることにより解の存在を, さらにある種の対称性の下で無限個の解の存在を示した. この手法は fractional Laplacian を伴う非線形スカラーフィールド方程式等へも拡張可能であり, 発展が期待される.
変形理論に関しては特異摂動下での変形理論を見直し, 新たな勾配流を構成した. 特異摂動下での L2-制限等への応用が期待される.
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| 今後の研究の推進方策 |
今までの研究を踏まえ, 非局所問題に対する特異摂動問題に取り組む. 特に L2 制限問題を重視する.
非局所問題に対する特異摂動問題はその難しさから, アプローチを行うための道具だての準備から始める必要がある. 今までに整備を行った (PSP) 条件の下での変形理論等は非局所方程式に対する特異摂動問題に対しても有効であることが期待される. いわゆる tail minimizing method に対応する flow の構成もなされており, 準備は整いつつある.
従来, 特異摂動問題は非線形項がべき関数のように線形よりも高い増大度をもつものが扱われてきた. 本研究では対数的非線形性に代表される線形よりも低い増大度をもつ劣線形性をもつ非線形方程式に対する特異摂動問題も研究テーマに加え取り組む.
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