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2017 年度 実績報告書

可積分アルゴリズム:正値性をもつ高精度計算基盤

研究課題

研究課題/領域番号 17H02858
研究機関京都大学

研究代表者

中村 佳正  京都大学, 情報学研究科, 教授 (50172458)

研究分担者 木村 欣司  京都大学, 情報学研究科, 特定准教授 (10447899)
關戸 啓人  京都大学, 国際高等教育院, 特定講師 (40718235)
前田 一貴  関西学院大学, 理工学部, 助教 (80732982)
研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2020-03-31
キーワード部分特異値分解 / 大規模スパース行列 / ランチョスアルゴリズム / QR分解
研究実績の概要

本研究の目的[B]に沿って,データ行列の主成分分析のための特異値問題について様々なアプローチを行った.並列化効率の高い櫻井・杉浦法は左特異ベクトルのみを用いて計算を行うため直交QD法と相性が良い. そこで,櫻井・杉浦法に組み込むことを念頭において,その前段階として,直交QD法を実装して高い相対精度で微小な特異値や零空間が計算するコードを開発し,研究室のウェブページにて公開して数件のダウンロードがあった.
さらに,目的[B]に関連して,スパースな大規模データ行列の部分特異対を計算するため,リスタートによってランチョスベクトルの直交性と悪化を防ぐ改良型陰的リスタートランチョス法による2重対角化の研究を行った.従来法であるハウスホルダー反射行列によるQR分解を利用せずに,部分行列の左右の特異ベクトルの直交性を保つアルゴリズムを開発した結果,単精度計算においては,従来法より計算時間を短縮するとともに,部分特異値分解の精度を向上させることができた.
また,箱玉系の拡張ルールとして玉に番号をつける拡張,運搬車の容量を制限する拡張があるが,本研究の目的[A]として,この両方の拡張を持つ,既知のものとはまた別の一般化を導入することができた.これによって帯幅が2以上のTN行列の固有値に収束するフローをもつ非自励離散可積分系とその非自励離散KP格子や非自励離散2次元戸田格子との関係の理解が進んだ.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

[A] 帯幅が2のTN行列の固有値に収束するフローをもつ非自励離散可積分系の探求について継続して研究している.
[B] 直交QD法による高精度な特異値分解計算の実装コードの開発と公開は予定通り進んだ.さらに,改良型陰的リスタートランチョス法による2重対角化(augmented implicitly restarted Lancos bidiagonalization method)の開発ができた.
[C] 可積分アルゴリズムによるランチョスパラメータの計算においてはゼロ割に起因するブレイクダウンが発生しても高次の離散可積分系によって特異点を回避できることを確認するという成果が得られている.

今後の研究の推進方策

[A] TN帯行列としての4重対角,および5重以上のヘッセンベルグ行列を取り上げ,dhToda型可積分系の解構造に着眼して陽的な原点シフト法を導入して高速・高精度な新しい可積分アルゴリズムを開発する.
[B] ハウスフォルダー2重対角化で前処理しQR法で特異ベクトルを計算する従来法と,ハウスフォルダー2重対角化で前処理しdqds法で特異値を直交QD法で特異ベクトルを計算する提案手法の比較を櫻井・杉浦法に組み込んで比較検討する.
[C] ランチョス法に基づく連分数展開とハンケル行列のコレスキー分解の高速計算法であるランチョス・フィリップスアルゴリズムに注目し,その可積分アルゴリズムとしての性質を明らかにするとともに,ティープリッツ行列のLU分解の高速計算法としてランチョス・フィリップス型アルゴリズムを定式化することで,単位円周上の直交多項式やローラン双直交多項式を通じて,ブレークダウンを回避したパデ展開の計算法を開発する.

研究成果

(14件)

すべて 2018 2017

すべて 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 4件、 オープンアクセス 4件) 学会発表 (8件) (うち国際学会 4件、 招待講演 1件) 図書 (2件)

  • [雑誌論文] Another generalization of the box ball system with many kinds of balls2018

    • 著者名/発表者名
      Maeda Kazuki
    • 雑誌名

      Journal of Integrable Systems

      巻: 3 ページ: 5033954

    • DOI

      https://doi.org/10.1093/integr/xyy007

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Implementation of computing partial singular value decomposition for proncipal component analysis using ARPACK2018

    • 著者名/発表者名
      Masami Takata, Sho Araki, Kinji Kimura, Yuki Fujii, Yoshimasa Nakamura
    • 雑誌名

      IPSJ Trans. Math. Modeling Appl.

      巻: 11-1 ページ: 37-44

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Improvement of the augmented implicitly restarted Lanczos bidiagonalization method in single precision floating point arithmetic2018

    • 著者名/発表者名
      Yuya Ishida, Masami Takata, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura
    • 雑誌名

      IPSJ Trans. Math. Modeling Appl.

      巻: 11-3 ページ: 19-25

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Application of the Lanczos-Phillips algorithm to continued fractions and its extension with orthogonal polynomials2018

    • 著者名/発表者名
      Kaoru Sawa and Yoshimasa Nakamura,
    • 雑誌名

      JSIAM letters

      巻: 10 ページ: 57-60

    • DOI

      https://doi.org/10.14495/jsiaml.10.57

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] Kahan-廣田-木村型離散three wave system とQRT写像2018

    • 著者名/発表者名
      高江宥光, 木村欣司, 中村佳正
    • 学会等名
      平成30 年度応用数理学会年会
  • [学会発表] Fast computation method of column space by using the DQDS method and the OQDS method2018

    • 著者名/発表者名
      Sho Araki, Hiroki Tanaka, Masami Takata, Kinji Kimura and Yoshimasa Nakamura
    • 学会等名
      The 2018 International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications (PDPTA2018)
    • 国際学会
  • [学会発表] Improvement of computing partial singular value decomposition for dense matrix using thick-restart-Lanczos method2018

    • 著者名/発表者名
      Masana Aoki, Masami Takata, Kinji Kimura and Yoshimasa Nakamura
    • 学会等名
      The 2018 International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications (PDPTA2018)
    • 国際学会
  • [学会発表] ランチョス・フィリップスアルゴリズムの可積分性とその直交多項式への応用2018

    • 著者名/発表者名
      澤薫, 中村佳正
    • 学会等名
      第14 回応用数理学会研究部会連合発表会
  • [学会発表] 単精度浮動小数点数環境にも有効なAugmented Implicitly Restarted Lanczos Bidiagonalization 法の改良2018

    • 著者名/発表者名
      石田遊也, 高田雅美, 木村欣司, 中村佳正
    • 学会等名
      第14 回応用数理学会研究部会連合発表会,
  • [学会発表] Parallel symmetric tridiagonal eigensolver based on bisection and inverse iteration algorithms with the blocked classical Gram-Schmidt reorthogonalization and the shifted Cholesky QR decomposition2018

    • 著者名/発表者名
      Kinji Kimura, Masayuki Osawa, Sho Araki, Hiroyuki Ishigami, Yoshimasa Nakamura
    • 学会等名
      SIAM Conference on Parallel Processing for Scientific Computing
    • 国際学会
  • [学会発表] Acceleration of inverse iteration method using Cholesky QR decomposition with shifts2018

    • 著者名/発表者名
      Masayuki Osawa, Sho Araki, Hiroyuki Ishigami, Kinji Kimura, Yoshimasa Nakamura
    • 学会等名
      International Workshop on Eigenvalue Problems: Algorithms; Software and Applications, in Petascale Computing (EPASA2018)
    • 国際学会
  • [学会発表] 応用可積分系分野の基礎方程式としての戸田格子方程式,2017

    • 著者名/発表者名
      中村佳正
    • 学会等名
      平成29 年度応用数理学会年会
    • 招待講演
  • [図書] 解析学百科:可積分系の数理2018

    • 著者名/発表者名
      中村,高崎,辻本,尾角,井ノ口(第5章応用可積分系/執筆分担)
    • 総ページ数
      432
    • 出版者
      朝倉書店
    • ISBN
      978-4-254-11727-1
  • [図書] 数値線形代数の数理とHPC2018

    • 著者名/発表者名
      櫻井, 松尾, 片桐編(2.2.2 mdLVs法/執筆分担)
    • 総ページ数
      314
    • 出版者
      共立出版
    • ISBN
      978-4-320-01955-3

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公開日: 2019-12-27  

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