| 研究実績の概要 |
本研究では, 複素幾何/解析の立場から代数幾何的な半正値性と特異点を扱う枠組みの構築を目指し, 代数幾何に現れる正則切断の拡張問題や消滅定理を特異エルミート幾何(特異計量, 曲率カレントなど)の視点から研究する.
2018年度は(正則)断面曲率について研究した. 具体的な成果として, 準正値な(正則)断面曲率についてのYau予想を解決した. さらに, 非負な断面曲率を持つ射影多様体の構造定理を確立した.
第１の成果は断面曲率の正値性と有理連結性に関するYau予想の解決およびその一般化である. Shing-Tung Yau氏により「正値な断面曲率を持つ射影多様体は有理連結である(即ち, 任意の２点を結ぶ有理曲線が存在する)」ことが予想されていた. 近年, Yau 予想自体は Xiaokui Yang 氏により肯定的に解決されたが, 準正値な場合は未解決であった. 私は, Heier-Wongのアイデアを用いて準正値な断面曲率を持つ射影多様体が有理連結になることを証明し, Yau予想を準正値な場合に一般化し解決した.
第２の成果は非負断面曲率を持つ射影多様体の構造定理である. 具体的には, 非負断面曲率を持つ射影多様体は平坦なケーラー多様体への局所自明な射を持つこと, および, その射のファイバーが有理連結になることを証明した. また, その普遍被覆面がflat なユークリッド空間と非負断面曲率を持つ有理連結多様体の直積への双正則かつ等長な同型射を許すことを示した. この成果はHoward-Smyth-WuやDemailly-Peternell-Scheiderの構造定理の一般化を与える. 証明の鍵はRC-正値性と呼ばれる概念とそこから導かれる最大値の原理を積分で評価する点にある. 有理連結射を正則射に選び直す段階で正則葉相構造を使う点も鍵となる.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の課題はケーラー多様体への一般化である. また, 今年度の成果の応用として, 非負断面曲率を持つ曲面を分類することも課題である. さらに, 非正まで研究範囲を広げることで, 非正断面曲率を持つ多様体のアバンダンス予想なども調べたい.
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