| 研究課題/領域番号 |
17H04837
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
立川 裕二 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (10639587)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 量子異常 / 位相的場の理論 / 共形場理論 |
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| 研究実績の概要 |
この研究テーマは場の量子論の正しい数学的枠組みを探すというものであり、元来の研究計画では、三次元以上の共形場理論を追究することを主に、場の理論のトポロジカルな性質をよりよく理解することを副に据えてあったが、前者のテーマが予想以上に困難であることがわかったため、後者のテーマを主に研究しており、その中でも、特に場の理論の量子異常という性質について注力して研究している。ある次元の場の量子論の量子異常は、一次元高い空間での非常に特別な、物性理論においては「対称性により保護されたトポロジカル相」と呼ばれるクラスの場の理論によって記述されるので、両者を同時に考察することが重要である。
2018年では、質量ゼロのフェルミオン系についてこの性質を丁寧に調べることにより、これまで弦理論においてオリエンティフォールドとよばれる時空で、ディラック量子化条件とよばれる二十世紀前半から知られている基本的な無矛盾性条件が破れているようにみえるという問題が、フェルミオンの量子異常と互いに相殺していることを見出した。また、空間二次元時間一次元のエニオン系の量子異常についても、エニオン系の数学的公理化であるモジュラーテンソル圏への対称性の作用の点から研究を行った。前者のテーマに関しても、三次元の共形場理論への対称性の作用から、共形場理論を公理的に記述する基本的なデータへどのような制限が掛かるかを自動的に書き下すプログラムを開発し、その応用を論じた。
また、場の量子論と数学の関連性について、日本数学会で招待総合講演を行う、また、京都大学で学部学生および大学院生にむけてコロキウムを行うなど、この科研費の研究内容について招待されて紹介を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
元来の研究テーマでは、二次元の共形場理論の公理化である頂点作用素代数の高次元化を考えるというのを主に据えていたが、これは非常に難しいということが判明し、そちら方向の進展は思わしくない。そのため、元来の研究計画で副テーマとしてあった、場の理論におけるトポロジカルな性質のさらなる理解のための研究に注力している。また、研究代表者はこれまで超対称場の理論の研究を主に行っており、そちらの方面の研究も継続しているが、そちらに関してもこれまで等閑に付されていたさまざまなトポロジカルな性質をとりだす研究を行っている。こちらの研究の進展は順調であると思われる。この両者を勘案すると、全体としては、研究の進捗はやや遅れていると判断したい。
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| 今後の研究の推進方策 |
まずは場の理論におけるトポロジカルな性質の理解を深める作業を続ける予定である。これに関しては、いまのところ色々なケースを個別に行ってきたが、全体に適用可能な統一的な観点が必要である。これには代数トポロジーという数学の分野が必要であるらしいことがわかってきたが、この数学の分野はこれまで理論物理であまり使われていない。そのため、場の理論におけるトポロジカルな性質を代数トポロジー的に調べるというのは有望であると思われる。また、進捗のかんばしくない、共形場理論の公理論的研究の高次元化に関しては、海外の数学の研究者のあいだですこしずつ研究が進んでいるので、これにも何とかついていきたいと考えている。
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