| 研究課題/領域番号 |
17H06127
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
齋藤 政彦 神戸大学, 数理・データサイエンスセンター, 教授 (80183044)
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| 研究分担者 |
山田 泰彦 神戸大学, 理学研究科, 教授 (00202383)
太田 泰広 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10213745)
望月 拓郎 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (10315971)
吉岡 康太 神戸大学, 理学研究科, 教授 (40274047)
Rossman W.F 神戸大学, 理学研究科, 教授 (50284485)
野海 正俊 神戸大学, 理学研究科, 教授 (80164672)
大仁田 義裕 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (90183764)
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| 研究期間 (年度) |
2017-05-31 – 2022-03-31
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| キーワード | 可積分系 / モジュライ空間 / モノドロミー保存変形 / リーマン・ヒルベルト対応 / 分岐不確定特異点 / 量子コホモロジーとミラー対称性 / 混合ツイスターD加群 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は、代数曲線上定義された放物接続や放物Higgs束のモジュライ空間の代数幾何学的構造の研究を継続して行った。また、付随するリーマン・ヒルベルト対応の幾何学、モノドロミー保存変形の微分方程式のパンルヴェ性などについても研究を行った。特に、現在残された一般の分岐的不確定特異点を持つ場合のモジュライ問題の設定、モジュライ空間の構成、次元公式、非特異性、シンプレクテック構造などについては、稲場がすでにプレプリント「Moduli Spacs of irregular singular parbolic connections of generic ramified type on a smooth projctive curve」において、肯定的な解答を得ている。また、確定特異点でスペクトル型を固定したときのモジュライ空間の構成、モノドロミー保存変形に関わる方程式のパンルヴェ性の証明についての論文を出版する予定である。
岩木・小池は位相的漸化式とWKB解析の関係において、具体例による研究を進め、新しい例を構成しつつある。名古屋は、第6q差分パンルヴェ方程式のタウ関数がｑ共形ブロックでフーリエ展開で得られるという結果を得て、論文を発表した。また、この分野の国際研究集会を11月に神戸大学で開催した。
望月は、円周と複素直線上の特異モノポールについて、色々な角度から研究し、新たな結果を得た。大仁田は、微分幾何学と可積分系の関係、特に調和写像の分類問題を研究した。山田は、多変数モノドロミー保存変形について、パンルヴェ方程式の退化や、パデ法の応用研究を行った。入谷はトーリック軌道体の標準類を保たない双有理変形の下での量子コホモロジーD加群の変化を研究した。また高種数グロモフ・ウイッテンポテンシャルの保型性を調べた。細野は、カラビ・ヤウ多様体のミラー対称性について詳細な研究を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
代数曲線上の特異接続やHiggs束のモジュライ空間の理論については、稲場は、一般の分岐的不確定特異点を持つ場合に、モジュライ空間の構成、非特異性、シンプレクテック構造について、プレプリントで肯定的に解決しているので、ほぼ理論の基礎的な部分は解決したと言える。この論文に基づき、リーマン・ヒルベルト対応、モノドロミー保存変形の微分方程式の具体的な記述の研究も始まっている。また、確定特異点でスペクトル型を固定したときのモジュライ空間の構成、モノドロミー保存変形に関わる方程式がパンルヴェ性を持つことの証明についての論文を出版する予定であるが、この場合からも多くのパンルヴェ性を持った微分方程式が得られるはずである。齋藤とSzaboは、特異接続およびHiggs束に対する見かけの特異点理論を開発し、モジュライ空間の詳細な構造を記述する方法を開発したが、研究代表者および本科研費で雇用した光明によって、射影直線上の階数２、5点の確定特異点を持つ場合のモジュライ空間の詳細な記述がなされた。
岩木・小池は位相的漸化式とWKB解析の関係において、具体例による研究を進め、位相的漸化式で重要な自由エネルギーとWKB解析のVoros係数の関係を導き出したことは注目に値する。名古屋は、神保・坂井と第6q差分パンルヴェ方程式のタウ関数がｑ共形ブロックでフーリエ展開で得られるという結果を得て、論文を発表した。上記の接続のモジュライ空間の理論と、モノドロミー保存変形のタウ関数などの関係性については、これからであるが、モジュライ空間の精密な記述が可能になってきている。
研究分担者および連携研究者による可積分系の応用分野、高次元代数幾何学やミラー対称性予想の研究も新たな知見や理論の精密化が進展しており、研究は順調に進展している。
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| 今後の研究の推進方策 |
代数曲線上の特異接続やHiggs束のモジュライ空間の研究においては、一般の分岐的不確定特異点を持つ場合にモジュライ空間の構成をした稲場のプレプリントを発展整備して、理論を理解しやすいものとする。また、確定特異点、不分岐不確定特異点、一般の分岐不確定特異点も含めたモノドロミー保存変形の理論を、様々な実例の計算を踏まえて、モノドロミー保存変形の幾何学および可積分系理論との関係を整備する。齋藤とSzaboの、特異接続およびHiggs束に対する見かけの特異点理論の論文を完成させ、出版に向けて準備を行う。この論文において、ある種の代数曲面の点のヒルベルト概形の理論、またHiggs束のスペクトル曲線とそのJacobi多様体の構造が鍵となるので、その部分の幾何学を精密化する方向性を追求する。また、接続のモジュライ空間と接続を忘れた放物ベクトル束のモジュライ空間の幾何学、そしてフーリエ向井変換を通じた、幾何学的ラングランズ対応の実現などの研究も推進する。
位相的漸化式とWKB解析の関係については、岩木・小池の理論を幾何学的に焼き直し、問題の新たな定式化、そして量子曲線の理論等との関係を明確化する。Lisovy、名古屋らによるパンルヴェ方程式のタウ関数のフーリエ展開が共形場理論によって得られるという不思議な関係の数学的説明を行う手がかりを探るために、モノドロミー保存変形タウ関数の幾何学的意味を明確化する。本年度は、齋藤、望月は、京大数理研で「D加群、量子幾何学とその周辺分野」における国際研究集会を組織している。国内外の一流研究者を集め、また若手の育成を図る機会としたい。
高次元代数幾何学分野、数理物理学・ミラー対称性分野については、それぞれ研究分担者、研究協力者の専門分野において、独自の研究を進めるとともに、上記研究を活かした新たな共同研究の可能性を探る。
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