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2020 年度 実績報告書

代数幾何と可積分系の融合 - 理論の深化と数学・数理物理学における新展開 -

研究課題

研究課題/領域番号 17H06127
研究機関神戸学院大学

研究代表者

齋藤 政彦  神戸学院大学, 経営学部, 教授 (80183044)

研究分担者 山田 泰彦  神戸大学, 理学研究科, 教授 (00202383)
太田 泰広  神戸大学, 理学研究科, 教授 (10213745)
望月 拓郎  京都大学, 数理解析研究所, 教授 (10315971)
吉岡 康太  神戸大学, 理学研究科, 教授 (40274047)
Rossman W.F  神戸大学, 理学研究科, 教授 (50284485)
野海 正俊  神戸大学, 理学研究科, 名誉教授 (80164672)
大仁田 義裕  大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (90183764)
三井 健太郎  神戸大学, 理学研究科, 助教 (70644889)
佐野 太郎  神戸大学, 理学研究科, 助教 (10773195)
光明 新  神戸大学, 数理・データサイエンスセンター, 講師 (90760976)
岩木 耕平  東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00750598)
研究期間 (年度) 2017-05-31 – 2022-03-31
キーワード可積分系 / モジュライ空間 / モノドロミー保存変形 / パンルヴェ方程式 / 量子コホモロジーとミラー対称性 / 混合ツイスターD加群 / WKB漸近解析 / 高次元双有理幾何学
研究実績の概要

非特異射影曲線上の確定特異点、および不分岐不確定特異点を有する安定放物接続のモジュライ空間については、 稲場・岩崎・齋藤、稲場、稲場・齋藤が基本的な代数幾何学的存在定理および、シンプレクテック構造の存在やリーマン・ヒルベルト対応が双有理固有正則写像である事を証明した事により、モノドロミー保存変形の微分方程式系が幾何学的パンルヴェ性を持つことの厳密な証明を導いた。この方面では、 研究協力者の稲場が現在、 残っている一般的な分岐を許す不確定特異点の場合について非得意なモジュライ空間の構成とシンプレクテック構造の構成をおこない、論文を投稿中である。見かけの特異点とその双対座標を用いたHigg場のモジュライ空間の標準座標の理論は底曲線が射影直線の場合古典的に知られていたが、 齋藤とSzabo によって一般の種数に拡張された。また、放物接続のモジュライ空間の場合は、齋藤、Szabo、Loray、光明により詳細な理論を構築している。光明は、曲線上の放物接続のモジュライ空間上のモノドロミー保存変形を特徴付ける代数的2形式と、そのハミルトニアンによる表示を与えた。望月は、3次元平坦トーラス上のモノポールと楕円曲線上の差分加群の対応を示した。また、D'Agnoloと柏原が示した一般的な正則D加群におけるリーマン・ヒルベルト対応のEssential Imageを単位円盤からの正則写像による引き戻しによって特徴付けができることを示した。野海と山田は、Ruijsenaarsとの共同研究で、8パラメータを持つSakaiの楕円差分方程式系とvan Diejenによって導入された8パラメータCalogero-Moser Hamiltonian系との対応を示した。岩木はパンルヴェI型方程式の形式的τ関数を、位相的漸化式の相関関数の離散フーリエ変換で構成される事を示した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

代数曲線上の放物接続のモジュライ空間の構成、モノドロミー保存変形によるパンルヴェ型微分方程式系の導入、代数的シンプレクテック構造などについては、齋藤、稲場、光明、Loray、Szaboによる研究が進展しているが、特に残された分岐する不確定特異点を持つ場合の理論が稲場によって完成しつつある。また見かけの特異点理論によるモジュライ空間の標準座標の理論も、一般種数の場合において進展しつつあり、モジュライ空間、すなわち微分方程式系の相空間や微分方程式の表示についても明確になりつつある。今後、より具体的な計算が可能なレベルになる事が期待される。望月の微分幾何学的対象と代数幾何的対象の対応関係の確立や、複素多様体上の不確定特異点をもつ正則D加群に関する深い研究は大きな進展を見せている。野海と山田は、離散可積分系の理論において多くの研究成果を得ており、深い成果に結びついている。野海は、特殊関数の分野で多くの共同研究を進めており本質的な成果をあげている。吉岡、三井、佐野は代数幾何学分野の研究でそれぞれ良い成果を得ている。吉岡はベクトル束のモジュライ空間、三井はネロンモデルの構成、佐野はケーラーでないカラビ・ヤウ多様体について、3次元以上の各次元で無限個の位相型を構成した。大仁田は「微分幾何学と可積分系」の国際研究集会を予定していたが、コロナの為に延期された。2020年度の後半に、Zoomによるセミナー「Web-Seminar on Painleve equations and related topics」を開始した。日本とヨーロッパの関連数学者が主に参加している。また、2021年2月にはTATA研究所で開催する予定であった研究集会の代わりに、「Indo-Japan Web-Workshop on Vector Bundles and Related Topics」をZoomで開催した。

今後の研究の推進方策

接続のモジュライ空間とリーマン・ヒルベルト対応の幾何学は代数幾何学的な基礎付けは、確定・不分岐不確定・分岐不確定の場合を込めてほぼ完成した。これによりモノドロミー保存変形から得られる可積分系のパンルヴェ性やハミルトニアン形の構造などの背景の理解は各段に進んでいる。一方で、見かけの特異点理論による標準座標の理論は、射影直線上の場合に詳細な理論があるが、高い種数の場合にはこれから詳細な理論の構築が必要になる。また、τ関数のフーリエ展開と共形場理論との関係、位相的漸化式との関係、WKB解析等の関係については、種々の興味深い結果は得られているが、その総合的理解はこらからの課題である。離散可積分系についても、その具体的な表示を含めてさまざまな研究が進んでいるが、モジュライ理論やリーマン・ヒルベルト対応の幾何学的アプローチも進んでいる。望月は、連続の場合にも離散の場合にも重要な結果を得ており、今後の研究に応用される事が期待される。ミラー対称性予想との関連でいえば、カラビ・ヤウ多様体のグロモフ・ウイッテン不変量の相関関数とBPS不変量の相関関数の関係など種々の興味深い予想があるが、今後数学的な枠組みで理解される事が望まれる。2020年度は、新型コロナ禍の中で対面による共同研究が不可能になったが、Zoom等を利用した共同研究やセミナー・研究集会が導入された。コロナ禍が収束するまで今後もこの方向性で研究を進め,コロナ禍が収まれば、国内外の研究者との対面での共同研究を推進する。

  • 研究成果

    (46件)

すべて 2022 2021 2020 その他

すべて 国際共同研究 (5件) 雑誌論文 (12件) (うち国際共著 4件、 査読あり 12件、 オープンアクセス 8件) 学会発表 (24件) (うち国際学会 16件、 招待講演 24件) 備考 (2件) 学会・シンポジウム開催 (3件)

  • [国際共同研究] Universite de Rennes1/Universite Bordeaux(フランス)

    • 国名
      フランス
    • 外国機関名
      Universite de Rennes1/Universite Bordeaux
  • [国際共同研究] TIFT, Mumbai/Chennai Mathematical Institute(インド)

    • 国名
      インド
    • 外国機関名
      TIFT, Mumbai/Chennai Mathematical Institute
  • [国際共同研究] University of Bath/University of Birmingham(英国)

    • 国名
      英国
    • 外国機関名
      University of Bath/University of Birmingham
  • [国際共同研究] Budapest University/Renyi Institute of Mathematics(ハンガリー)

    • 国名
      ハンガリー
    • 外国機関名
      Budapest University/Renyi Institute of Mathematics
  • [国際共同研究] Toronto University(カナダ)

    • 国名
      カナダ
    • 外国機関名
      Toronto University
  • [雑誌論文] Curve test for enhanced ind-sheaves and holonomic $D$-modules, I2022

    • 著者名/発表者名
      MOCHIZUKI Takuro
    • 雑誌名

      Annales scientifiques de l'Ecole Normale Superieure

      巻: 55 ページ: 575~679

    • DOI

      10.24033/asens.2503

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Curve test for enhanced ind-sheaves and holonomic $D$-modules, II2022

    • 著者名/発表者名
      MOCHIZUKI Takuro
    • 雑誌名

      Annales scientifiques de l'Ecole Normale Superieure

      巻: 55 ページ: 681~738

    • DOI

      10.24033/asens.2504

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Hamiltonian structures of isomonodromic deformations on moduli spaces of parabolic connections2022

    • 著者名/発表者名
      KOMYO Arata
    • 雑誌名

      Journal of the Mathematical Society of Japan

      巻: 74 ページ: 473~519

    • DOI

      10.2969/jmsj/83858385

    • 査読あり
  • [雑誌論文] A family of flat connections on the projective space having dihedral monodromy and algebraic Garnier solutions2021

    • 著者名/発表者名
      Komyo Arata
    • 雑誌名

      Annales de la Faculte des sciences de Toulouse : Mathematiques

      巻: 30 ページ: 479~501

    • DOI

      10.5802/afst.1682

    • 査読あり
  • [雑誌論文] The Elliptic Painleve Lax Equation vs. van Diejen's 8-Coupling Elliptic Hamiltonian2020

    • 著者名/発表者名
      Noumi Masatoshi、Kobe University, Japan、Ruijsenaars Simon、Yamada Yasuhiko、University of Leeds, UK、Kobe University, Japan
    • 雑誌名

      Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications

      巻: 16 ページ: -

    • DOI

      10.3842/SIGMA.2020.063

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Triply Periodic Monopoles and Difference Modules on Elliptic Curves2020

    • 著者名/発表者名
      Mochizuki Takuro
    • 雑誌名

      Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications

      巻: 16 ページ: -

    • DOI

      10.3842/SIGMA.2020.048

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] 2-Parameter $\tau $-Function for the First Painleve Equation: Topological Recursion and Direct Monodromy Problem via Exact WKB Analysis2020

    • 著者名/発表者名
      Iwaki Kohei
    • 雑誌名

      Communications in Mathematical Physics

      巻: 377 ページ: 1047~1098

    • DOI

      10.1007/s00220-020-03769-2

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Basic Properties of Non-Stationary Ruijsenaars Functions2020

    • 著者名/発表者名
      Langmann Edwin, Noumi Masatoshi、Shiraishi Junichi
    • 雑誌名

      Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications

      巻: 16 ページ: -

    • DOI

      10.3842/SIGMA.2020.105

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] The Coxeter relations and KP map for non-commuting symbols2020

    • 著者名/発表者名
      Doliwa Adam, Noumi Masatoshi
    • 雑誌名

      Letters in Mathematical Physics

      巻: 110 ページ: 2743~2762

    • DOI

      10.1007/s11005-020-01317-6

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Elliptic extension of Gustafson's q-integral of type G22020

    • 著者名/発表者名
      Ito Masahiko, Noumi Masatoshi
    • 雑誌名

      Advances in Mathematics

      巻: 370 ページ: 107211~107211

    • DOI

      10.1016/j.aim.2020.107211

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Categorical entropy for Fourier-Mukai transforms on generic abelian surfaces2020

    • 著者名/発表者名
      Yoshioka Kota
    • 雑誌名

      Journal of Algebra

      巻: 556 ページ: 448~466

    • DOI

      10.1016/j.jalgebra.2020.03.019

    • 査読あり
  • [雑誌論文] MMP via wall-crossing for moduli spaces of stable sheaves on an Enriques surface2020

    • 著者名/発表者名
      Nuer Howard、Yoshioka Kota
    • 雑誌名

      Advances in Mathematics

      巻: 372 ページ: 107283~107283

    • DOI

      10.1016/j.aim.2020.107283

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [学会発表] Monopoles and difference modules2021

    • 著者名/発表者名
      Mochizuki Takuro
    • 学会等名
      Geometry, Analysis, and Quantum Physics of Monopoles
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Harmonic metrics of cyclic Higgs bundles over non-compact surfaces2021

    • 著者名/発表者名
      Mochizuki Takuro
    • 学会等名
      Indo-Japan Web-Workshop onVector Bundles and Related Topics
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Discretization of the mKdV equation via transformation theory of curves and surfaces2021

    • 著者名/発表者名
      Rossman Wayne
    • 学会等名
      Colloqium at Texas Tech University
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Eigenfunctions for the elliptic Ruijsenaars difference operators2021

    • 著者名/発表者名
      Noumi Masatoshi
    • 学会等名
      Analysis and Probability Seminar, Chalmers University of Technology, G\"{o}teborg, Sweden (online seminar)
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Introduction to Macdonald polynomials (8 lectures)2021

    • 著者名/発表者名
      Noumi Masatoshi
    • 学会等名
      Department of mathematics, KTH Royal Institute of Technology, Sweden
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Higher dimensional generalization of the Chiang Lagrangian and totally complex submanifolds2021

    • 著者名/発表者名
      Jong Taek Cho, Kaname Hashimoto,Yoshihiro Ohnita
    • 学会等名
      OCAMI workshop on "Submanifolds of Symmetric Spaces and their Time Evolutions"
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Birational boundedness of some Calabi-Yau hypersurfaces2021

    • 著者名/発表者名
      佐野 太郎
    • 学会等名
      東大京大代数幾何セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Birational boundedness of some Calabi-Yau hypersurfaces2021

    • 著者名/発表者名
      Sano Taro
    • 学会等名
      Zoom Algebraic Geometry Seminar
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Construction of non-K\"{a}hler Calabi-Yau manifolds by log deformations2021

    • 著者名/発表者名
      Sano Taro
    • 学会等名
      Online Algebraic Geometry seminar, University of Nottingham
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Description of generalized isomonodromic deformations of rank two linear differential equations using apparent singularities2021

    • 著者名/発表者名
      Komyo Arata
    • 学会等名
      Indo-Japan Web-Workshop on Vector Bundles and Related Topics
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Infinitesimal Darboux Transformation and Semi-Discrete mKdV Equation2020

    • 著者名/発表者名
      Rossman Wayne
    • 学会等名
      Differential geometry seminar in Turin (Italy)
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Perturbative eigenfunctions for the elliptic Ruijsenaars difference operators2020

    • 著者名/発表者名
      Noumi Masatoshi
    • 学会等名
      Asia-Pacific Integrable Online Seminars
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Eigenfunctions for the elliptic Ruijsenaars operators2020

    • 著者名/発表者名
      Noumi Masatoshi
    • 学会等名
      Lorentz Center Workshop ``Hypergeometry, Integrability and Lie Theory'' (online workshop)
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Construction of non-K\"{a}hler Calabi-Yau 3-folds by log deformations2020

    • 著者名/発表者名
      佐野 太郎
    • 学会等名
      阪大幾何セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Topological recursion, WKB analysis and Painleve equations2020

    • 著者名/発表者名
      岩木耕平
    • 学会等名
      Kobe Seminar on Integrable Systems
    • 招待講演
  • [学会発表] 完全 WKB 解析とその周辺2020

    • 著者名/発表者名
      岩木耕平
    • 学会等名
      東大数理談話会
    • 招待講演
  • [学会発表] 完全 WKB 解析とクラスター代数2020

    • 著者名/発表者名
      岩木耕平
    • 学会等名
      紀尾井町数理セミナー「曲面の幾何学的構造とクラスター代数」
    • 招待講演
  • [学会発表] Topological recursion for hypergeometric spectral curves and uncoupled BPS structures2020

    • 著者名/発表者名
      岩木耕平
    • 学会等名
      ミラー対称性の諸相 2020
    • 招待講演
  • [学会発表] Witten-Reshetikhin-Turaev function for a knot in Seifert manifolds2020

    • 著者名/発表者名
      岩木耕平
    • 学会等名
      トポロジー火曜セミナー (東京大学)
    • 招待講演
  • [学会発表] Topological recursion and uncoupled BPS structure arising from spectral curves of hypergeometric type2020

    • 著者名/発表者名
      Iwaki Kohei
    • 学会等名
      Strings and QFTs for Eurasian time zone, Fudan University
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Topological recursion, exact WKB analysis and Painleve equation2020

    • 著者名/発表者名
      Iwaki Kohei
    • 学会等名
      University of Amsterdam String Seminar
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Topological recursion and uncoupled BPS structure arising from spectral curves of hypergeometric type2020

    • 著者名/発表者名
      Iwaki Kohei
    • 学会等名
      SISSA’s Integrable Systems and Mathematical Physics seminar
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Topological recursion, exact WKB analysis and Painleve equation2020

    • 著者名/発表者名
      Iwaki Kohei
    • 学会等名
      Integrable Systems 2020, international online seminar (University of Sydney)
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Description of generalized isomonodromic deformations of rank two linear differential equations using apparent singularities2020

    • 著者名/発表者名
      Komyo Arata
    • 学会等名
      神戸可積分系セミナー
    • 招待講演
  • [備考] Saito Masa-Hiko's Home Page

    • URL

      http://www2.kobe-u.ac.jp/~mhsaito/ftop.html

  • [備考] Painleve Equations and related topics

    • URL

      http://www2.kobe-u.ac.jp/~mhsaito/iwpe/

  • [学会・シンポジウム開催] Indo-Japan Web-Workshop on Vector Bundles and Related Topics2021

  • [学会・シンポジウム開催] Degenerations and models of algebraic varieties and related topics2021

  • [学会・シンポジウム開催] Web-seminar on Painleve Equations and related topics2021

URL: 

公開日: 2023-12-25  

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