代数幾何と可積分系の融合 - 理論の深化と数学・数理物理学における新展開 -

2022 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 17H06127
• 研究種目: 基盤研究(S)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 神戸学院大学 (2020-2022); 神戸大学 (2017-2019)
• 研究代表者: 齋藤 政彦 神戸学院大学, 経営学部, 教授 (80183044)
• 研究分担者: 山田 泰彦 神戸大学, 理学研究科, 教授 (00202383) ; 岩木 耕平 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00750598) ; 太田 泰広 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10213745) ; 望月 拓郎 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (10315971) ; 佐野 太郎 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (10773195) ; 吉岡 康太 神戸大学, 理学研究科, 教授 (40274047) ; Rossman W.F 神戸大学, 理学研究科, 教授 (50284485) ; 三井 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 助教 (70644889) ; 野海 正俊 立教大学, 理学研究科, 特任教授 (80164672) ; 大仁田 義裕 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (90183764) ; 光明 新 神戸大学, 数理・データサイエンスセンター, 講師 (90760976) ; 小池 達也 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (80324599)
• 研究期間 (年度): 2017-05-31 – 2022-03-31
• キーワード: 可積分系 / モジュライ空間 / モノドロミー保存変形 / パンルヴェ方程式 / 量子コホモロジーとミラー対称性 / 混合ツイスターD加群 / WKB漸近解析 / 高次元双有理幾何学

研究成果の概要

放物接続のモジュライ空間を相空間とするモノドロミー保存変形の微分方程式系の理論を分岐のある不確定特異点の場合も含めて確立した。モジュライ空間の代数的シンプレクテック構造を記述する標準座標の理論を一般種数の場合に拡張し、可積分系の詳しい解析の基礎を築いた。また、古典的なパンルヴェ方程式のτ関数の展開公式についてWKB解析、位相的漸化式、共形場理論からの研究が進展した。また差分方程式に対する微分幾何学的研究や表現論的研究に大きな進展があった。カラビ・ヤウ多様体、代数曲面上のベクトル束のモジュライ空間、ミラー対称性に関する研究、また可積分系と微分幾何学の研究も進展した。

自由記述の分野

代数幾何学と可積分系

研究成果の学術的意義や社会的意義

パンルヴェ方程式は、統計力学における二次元イジング模型や二次元量子重力論などに
現れる重要な方程式系であるが、さまざまな数学と関わってきた。このパンルヴェ方程式を射影直線上の線形接続のモノドロミー保存変形と捉える事によりその幾何学的な背景が明らかになった。この立場から、ミラー対称性予想、位相的漸化式の理論、可積分系の理論の幾何学的基礎を構築し、この分野の研究の発展に大きく寄与した。今後、種々の数学のみならず物理学や統計科学への寄与が期待される。