| 研究実績の概要 |
SL(p+q, R) の離散部分群 Γ に対して、Γ が簡約型等質空間 SL(p+q, R)/SO(p, q) に固有かつ余コンパクトに作用することと、非簡約型等質空間 SL(p+q, R)/SO(p, q)_θ に固有かつ余コンパクトに作用することは同値である。こうした現象がなぜ起きるのかを考察し、類似の例を系統的に見つけることを目標として研究を行った。
半単純対称空間は簡約型等質空間の中でも特に良いクラスであり、精緻な構造論が確立されている。そこで2017年度は G/H が半単純対称空間の場合を考察した。H のassociated対称部分群が非コンパクトな中心を持つときに、制限ルート系の強直交ルートを用いて、作用の固有・余コンパクト性に関して G/H と同じ振る舞いをする非簡約型等質空間 G/H_θ を定義することができた。この G/H_θ がコンパクトClifford-Klein形を持たないことは簡単に証明でき、そのことから G/H もコンパクトClifford-Klein形を持たないと分かる。
この種の G/H がコンパクトClifford-Klein形を持たないことは、研究代表者の過去の研究によって既に分かっていた。しかし既知の証明はLie環のコホモロジーとde Rhamコホモロジーを比較する手法を用いたものであり、今回得られた証明とは大きく異なっているように思われる。
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