| 研究実績の概要 |
複素領域における正則自己同型群は多変数関数論で重要な研究対象であり, 等方部分群は重要な部分群である. この部分群に属する写像は, 考察する領域が円型領域であれば, 線形写像となる(カルタンの定理).
本研究では, より弱い対称性を持つ準円型領域における等方部分群を主要な研究対象とした. このクラスでは, Kaupが「等方部分群に属する写像が多項式写像となる」ことを証明している. 既に研究代表者山盛厚伺と共同研究者Liyou Zhangにより複素2次元ユークリッド空間内の準円型領域の場合に多項式写像の分類を行なったが, この多項式写像について高次元ではまだ不明な点が多い. 本研究の主要な目的は, ２次元での分類理論の一般化である. ２次元での議論から一般化する際に確認されるべき幾つかの仮説を研究計画時に立てた. それらについて, 全て完全にとまでは行かなかったが, 部分的に解決された.
(1) 複素3次元ユークリッド空間内の準円型領域に対するBergman写像は多項式写像となること. また出てきうる多項式写像の分類を行なった. また現れた写像が２次元のケースと同様に双正則な写像であり, その逆写像の形も計算した.
(2) Bergman写像の一般論より, 等方部分群に属する写像はBergman写像, その逆写像およびユニタリ変換の合成で表示される. この事実と(1)を合わせることで, 一般に３次元の場合に出てくる多項式写像がどの様な形をするかまで決定できた.
(3) 上記の問題を考察する上で, 領域の対象性とBergman核の間の関係を調べていたところ, 当初の計画には無かったBoas-Fu-Straube, Beberokらの証明したDeflation型恒等式の一般化を得ることに成功した.
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