| 研究実績の概要 |
(1)前年度、単純代数群のダブルBruhatセル G^{u,e}上の座標環と、幾何結晶の作用の関係を調べた結果、幾何結晶の作用が、セル上の座標環から他のセル上の座標環の適切な局所化への埋め込みを導くことがわかった。この埋め込みは、元のセル上のクラスター変数を、他のセル上のクラスター変数に対応させるものであり、これにより、幾何結晶作用とクラスター代数理論の一つの関係が明らかになったことになる。今年度は、より一般の群 G のセルのクラスター構造と、幾何結晶作用の関係を調べた。より詳しく言うと、Gを一般のKac-Moody群とし、セル G^{u,e}をクラスター多様体と見なし、幾何結晶の作用を施したとき、クラスターX座標、A座標がどのように変化するかを計算した。その結果、X座標、A座標の幾何結晶作用による変化の明示公式を構成することができ、X座標、A座標上の幾何結晶の作用は、「positive」という性質を持つことがわかった。この結果から、結晶基底における重要な写像を、クラスター多様体の言葉で表すという新たな研究課題を得た。
(2)Positiveな幾何結晶から、結晶基底の多面体表示を得ることができる。(1)で新たに獲得した課題を研究していくには、多面体表示の基本性質を明らかにすることが重要である。そこで、古典型のリー環に付随する結晶基底 B(∞)の多面体表示について研究を行った。多面体表示を構成するには、添え字の無限列を考える必要があるが、その無限列がadaptedという条件を満たすとき、多面体表示を構成する全ての不等式の明示公式を構成することができた。
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