| 研究実績の概要 |
本研究では以下の反応拡散モデルに対する精度保証付き数値計算法を開発した。
∂u/∂t(t,x) = △u(t,x)+f(x,u(t,x)), t∈(0,∞), x∈Ω (1)
特に(1)の定常問題を対象とし、その正値解を数学的に厳密な意味で数値的に包含する手法を開発した。本研究で得られた手法は真の解が数値的に求めた近似解の付近に存在することを具体的な誤差上限と共に保証し、更にその正値性をも数学的に厳密な意味で保証している。
解の同符号領域のことをNodal Setsと言う。研究代表者は楕円型作用素の固有値評価理論に基づき、解uのNodal Setsの個数の上限を保証することに成功した。特に正値と予想される包含された解uに対して、そのNodal setの個数上限が1であることを保証し、u(x)>0となる点が少なくとも1点以上存在することを証明することにより、uの正値性をも保証した。
特に解uのNodal Setsの個数の上限を保証するために、解uをある楕円形作用素の固有関数とみなせることに着目した。その固有関数が最小固有値に対応するものであることを保証することで所望の正値解包含を達成した。
アレン・カーン方程式と呼ばれる水の状態変化や合金の生成過程等を表す重要な方程式に本手法を適用し、その正値解を包含した。また非線形項がu＾pのエムデン方程式にも本手法を適用し、その正値解を包含することにより、Sobolevの埋め込み定数の最良値をシャープに包み込むことにも成功した。
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