反応拡散モデルを記述する偏微分方程式の正値解に対する精度保証付き数値計算法

2018 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 17H07188
• 研究種目: 研究活動スタート支援
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 数学基礎・応用数学
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 田中 一成 早稲田大学, 理工学術院総合研究所, 次席研究員(研究院講師) (00801226)
• 研究期間 (年度): 2017-08-25 – 2019-03-31
• キーワード: 精度保証付き数値計算 / 反応拡散モデル / 偏微分方程式 / 正値解 / 計算機援用証明

研究成果の概要

本研究では以下の反応拡散モデル
∂u/∂t(t,x) = △u(t,x)+f(x,u(t,x)), t∈(0,∞), x∈Ω (1)
に対する精度保証付き数値計算法を開発した。特に(1)の定常問題を対象とし、その正値解を数学的に厳密な意味で数値的に包含する手法を開発した。本研究で得られた手法は(1)の真の解が数値的に求めた近似解の付近に存在することを具体的な誤差上限と共に保証し、更にその真の解の正値性をも数学的に厳密な意味で保証している。

自由記述の分野

偏微分方程式の数値解析

研究成果の学術的意義や社会的意義

精度保証付き数値計算は全ての誤差を考慮して数学的に正しい結果を得ることから近年世界的に注目を集めている技術であり、対象とするモデル(1)の性質上その正値解が重要となることが多い。国内外の関連する研究では「近似解の数値計算→精度保証」というプロセスの速度向上や、得られる結果の高精度化に焦点が当てられていたが、本研究はそこに正値性の保証という新たな視点を与えることができ、この点において独創的である。本研究で得られたアルゴリズムを用いれば、近似解の近傍に真解の存在性を証明するだけでなく、従来の精度保証技術では成し得なかった符号の保証をすることができ、より高信頼な結果を与えることができる。